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Archive for the ‘MatematicaMENTE FisicaMENTE’ Category

Allena la mente conoscendo meglio la matematica usando poi la maggiore elasticità mentale per migliorare la tua vita ed il tuo lavoro…

Quanti tipi di forze conosci?

Posted by Raffaele Berardi on 16 gennaio 2016

Rubrica: Fisicamente

Titolo o argomento: Ecco cosa sostiene il mondo che conosciamo

Le forze fondamentali conosciute, in fisica più propriamente chiamate interazioni, sono solo quattro e spiegano non solo il moto delle particelle ma anche come avviene tutto ciò che percepiamo nel nostro quotidiano e che solitamente diamo per scontato. Se anche una sola di queste forze non esistesse, la vita non sarebbe possibile. Si distinguono: la forza (o interazione) debole, gravitazionale, elettromagnetica e forte. Le altre forze più note nel nostro quotidiano quali ad esempio la forza peso, la forza elastica e le forze di attrito (radente, volvente, viscoso) sono dirette manifestazioni, per così dire, macroscopiche, delle interazioni fondamentali.

La forza debole

La forza debole ha luogo tra particelle dette leptoni (ovvero elettroni, neutrini e muoni) ed altre particelle subatomiche. Questa le trasforma ma è troppo debole per legarle tra loro. La sua importanza è enorme in quanto regola le reazioni nucleari che avvengono al centro delle stelle (quindi anche del sole). La sua debolezza infatti permette al sole di bruciare combustibile nucleare (idrogeno) in reazioni di fusioni così lente che lo fanno durare miliardi di anni. In particolare l’interazione debole è associata al decadimento dei nuclei radioattivi, non può formare stati stabili della materia e, come introdotto, tiene sotto controllo la combustione nucleare del sole. Senza interazione debole il sole esploderebbe in una iperbomba all’idrogeno. Un po’ come se invece di avere dei carburatori o degli iniettori accendeste l’intera quantità di carburante presente nel serbatoio in una sola volta.

La forza gravitazionale

La forza gravitazionale genera una reciproca attrazione tra tutti gli oggetti dotati di massa e può formare stati stabili della materia. Si tratta dell’interazione che trattiene gli oggetti sulla terra così come lega il sole ed i pianeti nel sistema solare e le stelle nelle galassie. La forza gravitazionale è meno intensa delle forze deboli di decine di ordini di grandezza, inoltre non produce effetti nel mondo delle particelle subatomiche però ha un raggio d’azione impressionante che ha giocato un ruolo fondamentale nella storia dell’Universo. La carica gravitazionale è tale che le masse si attirano sempre.

La forza elettromagnetica

La forza elettromagnetica si esercita tra oggetti dotati di carica elettrica, può essere sia attrattiva che repulsiva ed è responsabile dei legami chimici (assieme alle proprietà ondulatorie degli elettroni). E’ come se l’attrazione elettrica che tiene insieme il nucleo e gli elettroni trabordasse al di là  dei confini indefiniti dell’atomo stesso, andando ad agire sugli atomi circostanti. Infatti, nonostante la complessiva neutralità degli atomi, essi si attraggono mediante forze elettriche. Le forze elettriche, per utilizzare un esempio chiaro, sono responsabili della rigidità dei corpi solidi e di ciò che impropriamente chiamiamo forze di contatto: quando spingiamo un oggetto con la mano questo viene messo in movimento dalla repulsione elettrica tra gli atomi del palmo della mano e quelli della superficie dell’oggetto. La forza elettromagnetica vincola gli elettroni ai nuclei nella formazione degli atomi e gli atomi stessi nella formazione delle molecole e dei cristalli. La varietà del mondo che ci circonda è tenuta su dalle forze elettromagnetiche. Ma non solo… dalle forze elettromagnetiche dipende anche la nostra percezione sensoriale. Permettono di vedere grazie al fatto che la luce, che per l’appunto è un insieme di onde elettromagnetiche, colpisce la retina dell’occhio umano. Ma permettono anche di sentire con il tatto e con l’olfatto. Il corpo umano è ricco di parenti stretti dei trasduttori e dei sensori che convertono i segnali esterni in segnali elettrici da inviare tramite le fibre nervose al cervello. Anche i fenomeni chimici e biologici sono di natura elettromagnetica: la percezione dei feromoni tramite l’olfatto, rende possibile dare il via ad un processo di attrazione tra un uomo e una donna, tale percezione è possibile grazie alle forze elettromagnetiche.

La forza forte

La forza forte (detta anche nucleare) è la forza che tiene legati protoni e neutroni in un nucleo atomico ed è causata indirettamente dai quark i quali non si trovano mai isolati in natura ma si presentano in particelle composte dette adroni (nucleoni, pioni pi-greco, ecc.).

Composizione di forze

E’ logico immaginare che le diverse particelle che costituiscono la materia possono partecipare anche a più di un tipo di forza (interazione) contemporaneamente. Ad esempio il neutrone, che è un adrone, si lega con altri neutroni o protoni mediante le forze forti; possedendo un momento magnetico il neutrone interagisce anche con particelle cariche elettromagneticamente. Se il neutrone è libero decade dando origine ad un protone, un elettrone ed un antineutrino con un processo regolato dalle forze deboli. Infine, possedendo una massa, il neutrone è soggetto anche ad interazioni gravitazionali.

Per porre all’attenzione un secondo esempio concatenato, l’antineutrino del precedente esempio, non avendo né carica, né massa, né momento magnetico, è un tipico esempio di particella che risente di un solo tipo di interazione: quella debole.

Intensità relativa

Le quattro interazioni fondamentali offrono un’intensità che può esser determinata osservando gli effetti prodotti su particelle elementari in posizioni spaziali distinte. Emerge così che il contributo della forza forte è 100 volte più grande di quello elettromagnetico e 10 milioni di volte maggiore di quello debole, nonché 10^38 (ovvero 10 elevato alla 38, cioè 10 seguito da ben 38 zeri: 1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000) volte maggiore di quello gravitazionale. Quindi quest’ultimo potrebbe considerarsi totalmente trascurabile, tuttavia il raggio d’azione rispettivamente delle forze forti e deboli è di soli 10^-15 metri e 10^-17 metri. Viceversa, nonostante vi sia una consistente riduzione degli effetti all’aumentare della distanza, il raggio d’azione della forza gravitazionale e della forza elettromagnetica è decisamente più esteso. La distanza tra la terra ed il sole è di circa 150 milioni di chilometri eppure gli effetti di attrazione gravitazionale si fanno sentire. Pertanto quando la distanza tra le particelle è considerevole l’interazione dominante è quella elettromagnetica nel caso le particelle siano cariche, altrimenti quella gravitazionale.

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Superficie sole

Affascinante immagine della superficie del sole
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Creare un buco nero con una tanica di benzina

Posted by Raffaele Berardi on 12 gennaio 2016

Rubrica: Fisicamente

Titolo o argomento: Non occorre in realtà molta energia per creare un infinitamente breve ed infinitamente piccolo buco nero, il problema è un altro

Ebbene sì, è sufficiente l’energia contenuta in una tanica di benzina per generare un buco nero di dimensioni infinitesime che duri un tempo infinitesimo (ossia, rispettivamente, estremamente piccolo, breve). Se ci pensiamo un chilogrammo di benzina racchiude in sé circa 12 kWh di energia ed una tanica di benzina da 25 litri, ovvero contenente 18,75 chilogrammi di carburante, ingloba un totale di circa 225 kWh di energia.

Questioni di fattibilità

Il problema è ben altro, si tratta infatti di concentrare una simile (e seppur modesta) energia in due sole particelle elementari che collidono. Per render possibile una simile operazione sarebbe necessario un acceleratore di particelle la cui lunghezza sia pari a diversi anni luce (questo già risulta un “pelino” più difficile).

Curiosità

Altra curiosità, l’energia più o meno contenuta in una tanica di benzina equivale alla moltiplicazione di due valori che hanno un’importanza rilevante per la fisica (specie per la fisica quantistica). Ricordate la formula E = mc^2 di Einstein? Ovvero l’energia contenuta o emessa da un corpo è uguale alla massa del tale corpo per la velocità della luce, nel vuoto, al quadrato. Più precisamente, l’energia contenuta in una tanica di benzina equivale pressappoco alla moltiplicazione della “massa di Planck” per la velocità della luce al quadrato.

Che cos’è la massa di Planck?

Due particelle che si scontrano, avendo sufficiente energia (e quindi massa), possono smettere di esistere lasciando al loro posto un buco nero nel punto di collisione. La massa di Planck, che vale circa un centomilionesimo di grammo, è la più piccola massa possibile per un buco nero.

Note

Max Planck è stato un importante fisico che ha dato origine allo studio dell’affascinante Fisica Quantistica.

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In preparazione

LHC - Acceleratore di particelle del CERN di Ginevra

Image’s copyright: http://home.cern/

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Il paradosso dell’ignoranza

Posted by Raffaele Berardi on 5 dicembre 2014

Rubrica: Le mie teorie

Titolo o argomento: Più studio e più divento ignorante

Autore: Raffaele Berardi (Ralph DTE)

Quella che segue è una teoria che ho elaborato di recente, la mia quarta per l’esattezza dopo la teoria degli accostamenti, quella dell’ingranamento e quella del contrario. Se amate stuzzicare la vostra mente, potreste trovarla più normale della normalità.

Premessa

Io studio perchè ho bisogno di acquisire informazioni che sono utili per districarmi in questo mondo. Finché io studio “normalmente” posso non accorgermi di quanto è in oggetto in questo paradosso. Se supero un certo limite ed inizio a studiare intensamente inizio anche a rendermi conto di quante cose non so, inizio a rendermi conto di essere ignorante, inizio a rendermi conto di “sapere di non sapere” (Socrate). Più mi istruisco e più mi rendo conto di non sapere, più studio e più mi accorgo di essere ignorante. Tendendo all’infinito, ossia cercando di istruirmi notevolmente, mi accorgo sempre più di quante cose non so e di come quel poco che so rappresenti nient’altro che un infinitesimo della conoscenza (indefinita).

Quindi più studio e più sono ignorante

Ovviamente trattasi di una provocazione mentale. E’ proprio vero il concetto, oppure no? Infatti non è vero che più studio e più sono ignorante bensì che più studio e più “mi rendo conto” di essere ignorante. Sarebbe quindi opportuno definire la differenza tra essere ignorante e rendersi conto di essere ignorante.

Il rapporto che definisce l’ignoranza

Per ogni pezzettino di conoscenza acquisita in più, scopro l’esistenza di un’enorme mole di conoscenza che non ho. Pertanto nel rapporto tra conoscenza acquisita e percezione della conoscenza che non si possiede, più si va avanti nello studio e più il rapporto diventa grande definendo di fatti il soggetto in questione come uno maggiormente ignorante rispetto ad uno con minori conoscenze ma, allo stesso tempo, minore percezione circa la conoscenza.

Più precisamente definisco:

Coefficiente di conoscenza Kc = Conoscenza acquisita Ca / Percezione della conoscenza che non si possiede Cm

Tasso di ignoranza i = 1 / Coefficiente di conoscenza Kc

Minore è il coefficiente Kc che deriva dal primo rapporto e maggiore è il tasso di ignoranza.

Esempio

Ammettiamo ad esempio che la mia conoscenza acquisita valga 10, livello al quale io mi accorgo di non conoscere 5 e che migliorando i miei studi io arrivi ad una conoscenza acquisita pari a 30 ove ora però mi accorgo di non conoscere 60. Se al precedente livello il mio coefficiente di conoscenza valeva 10/5 = 2, cui corrisponde un tasso di ignoranza “i” pari a 1/2 = 0,5, ora il coefficiente di conoscenza vale 30/60 = 0,5 che corrisponde ad un tasso di ignoranza “i” pari a 1/0,5 = 2.

Esempio

In sostanza ad un primo step conosco 1/10 poi, studiando una cosa nuova, mi accorgo che i concetti sono molti di più di quanto potessi immaginare ed al secondo step conosco 2/100. Andando ulteriormente avanti studio ancora una cosa in più e di nuovo mi accorgo che al terzo step conosco ad esempio 3/1000. Il coefficiente di conoscenza cala sempre di più rendendomi di fatto sempre più ignorante nonostante io abbia studiato di più ed abbia acquisito più nozioni. Sto diventando sempre più ignorante o meglio sto rendendomi conto sempre di più di quante cose non so ed è proprio su questo che gioca il Paradosso dell’ignoranza il quale vede ciò che inizialmente si ignora come un qualcosa che non ci definisce ignoranti finché non ne percepiamo la presenza anche se poi, in ogni caso, non ne conosciamo i contenuti.

Nota conclusiva

Come è possibile quindi che più studio e più divento ignorante? Non è la quantità di concetti assimilati che definisce in “modo assoluto” quanto siamo preparati; è la percezione di quante cose non sappiamo che determina di fatto quanto siamo ignoranti nelle tali discipline. Andare intensivamente oltre lo studio di base permette effettivamente di percepire in modo chiaro questo fenomeno rendendo così ancora più patetica la figura del saccente, già poco gradita per l’antipatia che richiama a sé.

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Teoria degli accostamenti – Parte prima
Teoria degli accostamenti – Parte seconda
Teoria dell’ingranamento – Articolo in modalità PRO
Teoria del contrario
Il paradosso dell’ignoranza

Il paradosso dell'ignoranza Il paradosso dell'ignoranza

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Superconduttori e supercomunicatori: dalla scienza esatta all’irrazionalità del dubbio

Posted by Raffaele Berardi on 14 novembre 2014

Rubrica: Il fantastico mondo della comunicazione

Titolo o argomento: Dalla scienza esatta all’irrazionalità del dubbio

Questo articolo segue da:
Superconduttori e supercomunicatori: l’arte penetrante della comunicazione

La matematica dimostra che se si chiede ad un campione di persone quante caramelle ci sono in un capiente barattolo di vetro a loro mostrato, solo pochissimi forniranno un numero prossimo alla realtà (in un esperimento condotto dal matematico Marcus du Satoy, solo 4 persone su 160 si sono avvicinate al reale numero di caramelle contenute nel barattolo, le altre hanno fornito cifre completamente strampalate, chi troppo basse, chi troppo alte) ma, inaspettatamente, andando a calcolare la media dei numeri ipotizzati dai partecipanti al test, si otterrà un numero decisamente molto vicino a quello reale (nell’esperimento citato, su un campione di 160 persone, la media restituiva il numero 4514,8 mentre il valore reale di caramelle contenute nel grande barattolo di vetro era 4510). Questo come a dimostrare che la folla “conosce la realtà” ma non il singolo individuo (the wisdom of the crowd, la saggezza della folla).

La matematica permette inoltre di fare cose pazzesche come ad esempio prevedere l’andamento dei mercati azionari applicandola debitamente ai commenti che la gente pubblica sui social network, oppure conoscere in anticipo quante persone verranno colpite dall’influenza semplicemente operando delle statistiche sulle parole prevalentemente ricercate da loro sui motori di ricerca. Si sostiene persino di riuscire a sapere in anticipo, sempre applicando opportunamente la matematica, quale automobile compreremo in futuro… prima ancora che noi la scegliamo.

Così legittimamente mi chiedo: “Siamo sicuri che è la folla che messa insieme conosce la realtà delle cose, oppure vale il contrario e si tratta invece di fenomeni perturbatori che convincono la massa a seguire determinate strade?”. Chi di voi ha visto il film “Australia” si sarà accorto come, in una scena, la mandria di bestiame, spaventata da un incendio doloso (fenomeno perturbatore) parta impazzita di corsa in direzione del burrone. Ebbene in effetti la mandria resta unita ed ogni capo di bestiame, nel panico, sceglie di seguire tutti gli altri invece di fare valutazioni proprie. Proprio come se sentisse che la scelta migliore sia quella di dover seguire la folla perchè la folla ha ragione, non il singolo.

Lo stesso del resto accade anche con le mode quando si cerca disperatamente di essere attuali “come gli altri” invece di valutare cosa ci sta bene indosso o meno. Sembra quasi un’operazione automatica, esce il nuovo giubbetto, il nuovo dispositivo digitale o lo speciale in tv sui tatuaggi ed ecco che di conseguenza molti…
A volte sembra che le nostre menti lascino larghi spazi vuoti in attesa di un segnale esterno da seguire. E’ la folla quindi che messa insieme conosce la realtà delle cose oppure vale il contrario ed un fenomeno perturbatore influenza la massa nel prendere una strada al termine della quale potrebbe non vedere la presenza di un burrone? Quale sistema di “supercomunicazione” può suggerire ai più di seguire la massa? Paure e timori? La realtà quotidianamente raccontata dai media? La realtà come la percepisce ognuno di noi? -E qui ritorna in loop la domanda: “La realtà come la percepiamo noi è frutto di influenze?”- L’ignoranza? -Non intesa come propria di un individuo non scolarizzato, bensì anche del laureato che a fatica analizza prospettive differenti da quelle che gli sono state insegnate- Messaggi camuffati? La memoria di un certo polimero organico detto DNA?*

*La cui reale presenza nell’acido desossiribonucleico è, al momento in cui scrivo, ancora da dimostrare scientificamente.

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Matematica dei Frattali (introduzione alla)

Posted by Raffaele Berardi on 16 luglio 2014

Rubrica: Matematicamente

Titolo o argomento: Quando una parte del “tutto” assomiglia al “tutto” stesso

Cosa lega le bolle di sapone, l’architettura, la biomimetica, gli alberi, la matematica, la roccia vulcanica, i cristalli di ghiaccio, le montagne, i cavolfiori, i molluschi, gli alveari, la computer grafica e moltissime altre cose, costruite dalla natura di questo pianeta e, in seguito, imitate dall’uomo? Apparentemente nulla e, anche sforzandosi di trovare un legame, un nesso logico, una similitudine, un comportamento ricorrente, l’impresa sembra davvero ardua ma… senza dubbio assai curiosa. C’è infatti una particolare logica che si cela dietro oggetti e discipline menzionati nella domanda iniziale, questa logica si chiama: matematica dei frattali. Gli scienziati hanno osservato che dietro a molte cose che ci stupiscono in natura si nascondono precise ricorrenze matematiche. Un po’ come se per tutto ciò che esiste vi fosse un preciso input matematico che definisce come ogni cosa dovrà esser fatta per funzionare al meglio, per ottimizzare le proprie strutture, per massimizzare ed allo stesso tempo semplificare le sue proprietà e le sue funzioni (ad es. risparmiare materiale, necessitare di minore energia, lavorare nel modo più redditizio riducendo ogni minimo spreco e così via).

Benoit Mandelbrot, il padre dei frattali

Come la meccanica quantistica permette di esplorare fenomeni che la meccanica classica non è in grado di spiegare, così la matematica (o, se volete, la geometria) dei frattali consente di esplorare fenomeni a cui la geometria euclidea non riesce a dare risposte. Il matematico Benoit Mandelbrot è il padre fondatore di questa recente branca della scienza che ha aperto nuovi interessanti capitoli matematici solo poche decine di anni fa (siamo negli anni ’70 dello scorso secolo). In realtà i primi oggetti frattali vennero introdotti nel contesto scientifico già tra il 1800 ed il 1900 da importanti matematici quali Giuseppe Peano, Helge Von Koch e Waclaw Sierpinsky. Tuttavia la mancanza di un rigore matematico creò inizialmente qualche scetticismo. Benoit Mandelbrot riuscì invece a dare una struttura al tema e, tra le altre cose, introdusse il termine “frattale” per la prima volta nella sua opera dal titolo “The fractal geometry of nature” che pubblicò nel 1982.

Continua…

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Matematica dei frattali: Proprietà – IN PREPARAZIONE
Matematica dei frattali: Curiosi esempi – IN PREPARAZIONE

bolle di sapone

Nel terzo articolo sui frattali introdurremo alcuni esempi tanto curiosi quanto sbalorditivi.
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Il paradosso del mentitore

Posted by Raffaele Berardi on 16 giugno 2013

Rubrica: Matematicamente

Titolo o argomento: Il paradosso di Epimenide

Se scrivo “Questa frase è falsa” l’affermazione che ho appena fatto è vera o falsa? Se l’affermazione è vera allora è vero che la frase è falsa e quindi non può essere falsa in quanto dice il vero. Mentre se l’affermazione è falsa allora significa che è falso che la frase è falsa e quindi la frase è vera. Immagino lo sconcerto, potete anche abbandonare qui la lettura, avete la mia comprensione : )

Se affermo “Io sto mentendo” siete in grado di stabilire se sto davvero mentendo o sto dicendo la verità? Se è vero che sto mentendo allora sto dicendo la verità nell’informarvi che sto mentendo, ma allora non sto mentendo. Viceversa se è falso che sto mentendo sto dicendo una bugia nell’informarvi che sto mentendo, quindi sto mentendo. Allo stesso tempo però posso concludere che se è vero che sto mentendo, allora io sto dicendo una bugia, quindi il falso. Se invece è falso che sto mentendo, allora io sto dicendo la verità. Ci sono pertanto due conclusioni vere o due conclusioni false che coesistono e ciò non è ovviamente coerente nella logica.

In una forma più chiara e ordinata abbiamo: “Io sto mentendo”

1. VERO: è vero che sto mentendo quindi sto dicendo la verità nell’affermare che mento
(ci troviamo all’esterno ossia nel senso generale dell’affermazione).
2. VERO: è vero che sto mentendo quindi sto dicendo una bugia
(ci troviamo all’interno ossia nel dettaglio dell’azione).

1. FALSO: è falso che sto mentendo quindi sto dicendo una bugia nell’affermare che mento
(ci troviamo all’esterno ossia nel senso generale dell’affermazione).
2. FALSO: è falso che sto mentendo quindi sto dicendo la verità
(ci troviamo all’interno ossia nel dettaglio dell’azione).

Affermazioni autoneganti

Ad una prima analisi si può affermare che vi sono affermazioni (definite autoneganti) che non possono essere considerate né vere né false, semplicemente sono impossibili e prive di soluzione logica. Mi piace ipotizzare che il comportamento delle affermazioni in genere (proposizioni) possa essere assimilato, in un certo qual modo, al comportamento dei sistemi lineari che possono avere una soluzione (ad esempio vera o falsa), infinite soluzioni (al variare delle condizioni) o nessuna soluzione (soluzione impossibile). Il terzo caso, quello della soluzione impossibile, si verifica per l’appunto nelle proposizioni autoneganti perchè, se considerate fini a sé stesse, non sono espressioni logiche ma assomigliano più ad un contenitore di parole (ovvero di strumenti di comunicazione) ammucchiati a caso come un secchiello pieno di mattonici per le costruzioni. E’ naturale che possa capitare che qualche elemento sia semplicemente attaccato ad un altro senza alcuna utilità apparente.

Il punto di riferimento

Se però cambiamo il punto di riferimento, dal quale osserviamo la frase, tutto trova nuovamente un senso. Se ad esempio stiamo leggendo un articolo di giornale che parla di noi e troviamo una inesattezza, ha senso allora affermare “Questa frase è falsa” ed il fatto che ciò sia vero non porta ad alcuna contraddizione in quanto ha perfettamente senso ritenere che sia vero che il giornalista abbia scritto un’informazione errata, inesatta, falsa. Quindi muovendoci all’esterno della frase quello che viene affermato prende un senso. Inoltre se il giornalista, una volta interpellato, afferma che è falso che la tale frase sia falsa, anch’egli sta affermando qualcosa che ha un senso logico compiuto in quanto egli ritiene che la sua fonte di informazione sia veritiera e quindi la notizia esatta. Tradotto in termini più consoni, cambiare punto di riferimento, come vedremo tra poco, significa spostarsi dal linguaggio (in cui la frase è fine a sé stessa) al metalinguaggio (ove ha luogo una spiegazione del messaggio espresso dal linguaggio adottato). Un po’ come cambiare dimensione passando dalle due alle tre dimensioni, ad esempio per definire un volume.

Linguaggio e metalinguaggio

Ciò che non risulta coerente nel linguaggio (vedi la frase dell’esempio “Io sto mentendo”) trova un senso nel metalinguaggio dove finalmente una proposizione può essere definita vera o falsa in modo consistente (Alfred Tarski – Matematico, logico, filosofo del ‘900).

Linguaggio

Facoltà propria dell’uomo di esprimersi e comunicare tramite un sistema di simboli, in partic. di segni vocali e grafici. Nelle discipline logico-matematiche, sistema di cifre, lettere, simboli, per esprimere in modo formalizzato e non ambiguo teorie, concetti ecc.. Fonte: Dizionario Corriere.

Il mezzo di comunicazione all’interno di un sistema, L’insieme delle strutture che danno luogo a una comunicazione. Linguaggio verbale, linguaggio dei gesti, linguaggio della musica, linguaggio dell’arte, linguaggio di programmazione, linguaggio macchina. Fonte: Dizionario Italiano Ragionato.

Metalinguaggio

In logica e in linguistica, linguaggio (in forma naturale o formalizzata) adottato per analizzare e studiare un altro linguaggio. Fonte: Dizionario Corriere.

Che è al di là del linguaggio. In logica, Insieme di strutture linguistiche generali (non appartenenti ad un singolo linguaggio determinato), che permette di analizzare e descrivere un linguaggio concreto. Fonte: Dizionario Italiano Ragionato.

Soluzioni delle affermazioni

Tornando al concetto del sistema lineare, se ora affermo “Sei la donna più importante della mia vita dopo tutte le altre” qual è la donna più importante? A mio avviso l’affermazione non ha alcuna soluzione. Oppure se sostengo “E’ tutta colpa tua se è colpa mia” di chi è la colpa? A mio avviso l’affermazione ha infinite soluzioni a seconda delle condizioni. E ancora “Si è iscritto ad un club per soli eremiti”, quanti soci ha il club dato che un gruppo più o meno folto di persone sole non sono più sole? A mio avviso l’affermazione non ha soluzioni a men che non si pongano delle condizioni quali ad esempio: un folle ha fondato un club per eremiti, dopo l’adesione del primo socio (egli stesso) le iscrizioni sono state terminate in quanto il club è ora al completo (soluzione unica).

L’esempio del teatro

Nel teatro non di rado simili affermazioni vengono adottate per rendere ancora più comico un equivoco che evolve all’interno di una commedia. La non immediata comprensione scatena sovente una maggiore ilarità del pubblico che è portato a dare una propria interpretazione spesso bizzarra esattamente come desidera il commediante.

L’esempio della propaganda

Nella gestione di una nazione invece le frasi che un uomo di propaganda può affermare spesso non hanno senso alcuno nel linguaggio e, se si tenta di attribuir loro una spiegazione mediante il metalinguaggio, sovente si cade nel trabocchetto delle interpretazioni proprie, soggettive, incocludenti e fuorvianti.

Riflessioni conclusive

Ora analizzate pure ciò che vi colpisce nel quotidiano e tentate di stabilire se sia vero, falso o privo di senso in termini assoluti o rispetto ad un dato riferimento. Quindi, come sempre, è opportuno tener conto delle condizioni di esistenza di qualcosa che stiamo descrivendo, così come di una sorta di punto di riferimento rispetto al quale si osserva l’affermazione o la situazione d’interesse. Trattasi però di un mio modesto ragionamento che è assolutamente aperto ad accogliere chiarimenti, spunti, riflessioni e critiche costruttive. Prendete pertanto questo articolo come una sorta di provocazione, uno stimolo al ragionamento, un trastullo matematico.

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Questione di punti di vista

bocca_verita.jpg

Come si comporterebbe la bocca della verità se affermaste “Io sto mentendo” inserendovi la mano? : )
Image’s copyright: Enrique Sánchez

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Se un corpo estraneo entra in un pneumatico…

Posted by Raffaele Berardi on 9 marzo 2013

Rubrica: Le domande dei lettori

Titolo o argomento: Ipotesi dei danni provocati dall’ingresso accidentale di un corpo estraneo in un pneumatico in fase di montaggio

Rispondendo a: Franco e amici dalla Svizzera

Se ad esempio dovesse entrare accidentalmente un bullone in un pneumatico durante la fase di montaggio dal gommista, cosa succederebbe? Si potrebbe bucare o deformare il pneumatico dall’interno? Durante la fase di bilanciamento ci si accorgerebbe del corpo estraneo?

Risposta

Premesso che un corpo estraneo, il quale inavvertitamente entra all’interno di un pneumatico in fase di montaggio, non può avere dimensioni e massa elevate (altrimenti sarebbe chiaramente visibile all’operatore oppure non riuscirebbe a passare), le ipotesi che seguono fanno riferimento all’ingresso inavvertito di un bullone (vite + dado) oppure di un oggetto di simili proporzioni e forma irregolare all’interno dell’insieme cerchione-pneumatico durante la fase di montaggio di quest’ultimo.

Il fatto è che la massa di un bullone, accelerato all’interno di un pneumatico, temo non sia sufficiente per poter deformare il pneumatico stesso dall’interno. L’armatura metallica che costituisce la carcassa molto probabilmente reggerebbe. Inoltre la spinta da parte del bullone difficilmente potrebbe essere concentrata in un punto e, molto probabilmente, il bullone non starebbe mai fermo anche se si procedesse di moto rettilineo uniforme in quanto le irregolarità della strada lo farebbero comunque oscillare e cambiare di posizione. Pensandoci poi meglio, gli strumenti per l’equilibratura possono rilevare uno squilibrio solo nel caso il bullone sia fissato sul cerchione o sul copertone. In alternativa probabilmente lo strumento potrebbe dare un segnale di errore e chiedere di ripetere l’analisi, oppure approssimare l’esito come se il bullone non fosse presente. Si può inoltre ipotizzare che il conducente non rilevi vibrazioni provenienti dal pneumatico bensì un tintinnio simile ad un sasso che sbatte in un contenitore messo in rotazione. Gli urti contro il pneumatico sarebbero attutiti mentre quelli contro il cerchione, in particolar modo quando si riduce la velocità periferica della ruota, sarebbero facilmente avvertibili e piuttosto evidenti. Si avrebbe forse la sensazione di un importante guasto al cuscinetto ruota o al cerchione stesso però la marcia proseguirebbe regolarmente. Quello che poi può succedere insistendo nella marcia, è tutto da testare. I continui urti del bullone all’interno della ruota potrebbero danneggiare il cerchione innescando pericolose cricche che potrebbero portare ad una perdita di pressione. Forse alla lunga l’interno del copertone accuserebbe lacerazioni e tagli dovuti ad eventuali spigoli accentuati del bullone inteso come insieme vite+dado. Se si considera il solo dado, invece, penso si potrebbe prolungare la marcia prima di accusare un danno non trascurabile. Gli effetti diminuiscono quanto minore è la massa di un dado e quanto più smussate sono le sue superfici. Se si arriva ad ipotizzare un corpo sferico, caduto accidentalmente all’interno del pneumatico in fase di montaggio e non rilevato dalla macchina per l’equilibratura, si potrebbe avere un largo margine in cui non si presentano danni ma si avverte un rumore “effetto sassolini” fastidioso e allo stesso tempo preoccupante.

La simulazione

Nelle immagini che seguono vediamo degli screenshot raffiguranti 5 fasi di una simulazione fisica che abbiamo effettuato con Algodoo (Vedi l’articolo: “Simulare la fisica con Algodoo“). Nella scena sono compresi la carcassa semplificata di un pneumatico e un oggetto metallico dalla forma irregolare, per entrambi vengono simulati i relativi materiali con le rispettive caratteristiche fisiche (massa, densità, attrito…). Fa inoltre parte della simulazione la forza di gravità, le forze di attrito in gioco, la presenza dell’aria e, ovviamente, la rotazione del pneumatico con momenti a moto costante, altri a moto accelerato ed altri ancora in cui il pneumatico è soggetto a vibrazioni assimilabili a quelle provocate da un fondo irregolare quale è il manto stradale. Per evidenziare il percorso abbiamo dotato il corpo estraneo di un “tracer” ovvero di un tracciante dotato di dissolvenza utile a capire dove si trovava l’oggetto stesso pochi istanti prima.

Ad un basso numero di giri (Fig. 1), con velocità periferica costante, l’oggetto metallico dalla forma irregolare tende ad essere trascinato nella rotazione dal pneumatico tuttavia, raggiunta una certa pendenza, la forza di gravità tende a riportarlo verso il basso in quanto la forza normale agente sul corpo è molto piccola e la forza tangenziale vince l’attrito. Non appena la quota raggiunta dall’oggetto diminuisce, cala la pendenza e nuovamente l’attrito vince sulla forza tangenziale riportando più in alto l’oggetto. Ad un basso numero di giri questo fenomeno si ripete in modo alterno con possibilità di danni di carattere abrasivo piuttosto limitati in quanto, anche se l’oggetto presentasse forma irregolare e spigoli taglienti, le forze in gioco sono contenute e, data la resistenza di un pneumatico ordinario, non innescano particolari fenomeni critici.

Aumentando il numero di giri (Fig. 2), il moto diventa accelerato, le forze in gioco variano continuamente direzione, verso e intensità in quanto si ripresenta il fenomeno precedente ma con un effetto amplificato che si traduce in urti e rimbalzi. Quest’ultimi non permettono una stabile alternanza di saliscendi come nel primo caso. Nel caso l’oggetto abbia una superficie irregolare e spigoli taglienti la possibilità di danni è comunque contenuta per via della massa ridotta che può avere un piccolo oggetto accidentalmente introdotto all’interno del pneumatico duranta la fase di montaggio. Con una massa ridotta, per arrivare a fenomeni rilevanti, è necessario sottoporre l’oggetto ad accelerazioni molto elevate. Inoltre è opportuno notare che l’oggetto difficilmente colpirà ripetutamente il medesimo punto e, anche se ciò accadesse, non avrebbe una massa e un’accelerazione tali da riuscire a perforarlo attraversandolo ed uscendo all’esterno.

Quando la velocità periferica si fa consistente (Fig. 3) il corpo estraneo aderisce alla parete interna del pneumatico rimanendo fermo in un punto di equilibrio in quanto la forza normale al punto di contatto oggetto-pneumatico diventa prevalente. Tuttavia l’oggetto rimane fermo in un punto solo se il moto circolare del pneumatico è costante (o subisce minime variazioni) e se il fondo stradale è rappresentato da un piano perfetto. Ovviamente si tratta di condizioni ideali. Simulando alcune sconnessioni del manto stradale (Fig. 4) il corpo estraneo ricomincia i suoi rimbalzi con una frequenza proporzionale alle irregolarità della strada.

Infine, durante una frenata (Fig. 5), è possibile osservare come il corpo estraneo si distacchi dalla parete interna del pneumatico e il suo moto, prima del nuovo contatto contro un altro punto della parete stessa, diventi parabolico come quello di un proiettile. Senza entrare troppo nello specifico, anche questa situazione mostra come sia difficile che un corpo estraneo entrato accidentalmente all’interno del pneumatico (in fase di montaggio) possa rimaner fermo a lungo nello stesso punto.

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5

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Calcolo vettoriale: prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto, doppio prodotto vettoriale, divisione vettoriale

Posted by Raffaele Berardi on 18 ottobre 2012

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto

Premessa

Per i neofiti riportiamo di seguito il link all’articolo che definisce in modo semplice ed intuitivo la differenza tra grandezze scalari e grandezze vettoriali: Grandezze scalari – Grandezze vettoriali. Inoltre si precisa che la somma e sottrazione di vettori viene omessa in questo articolo per l’estrema semplicità di tali operazioni.

Prodotto scalare

Si tratta di un prodotto tra vettori (un’operazione binaria) che non mi restituisce un vettore bensì uno scalare. Esso si indica con v·w oppure con (v, w) o, più frequentemente, con <v, w>. Il prodotto scalare di due vettori v e w corrisponde alla norma di v moltiplicata per la norma di w moltiplicata per il coseno dell’angolo compreso tra i due vettori, ovvero: <v, w> = ||v||·||w||·cosθ. Il prodotto scalare è nullo quando almeno uno dei due vettori è nullo oppure quando questi sono ortogonali (infatti cosπ/2=0). In pratica il prodotto scalare tra due vettori è uguale al modulo (o norma) di un vettore per la proiezione dell’altro vettore sul primo.

Assiomi del prodotto scalare

1. Il prodotto scalare è positivo definito: per ogni vettore dello spazio vettoriale V abbiamo <v, v> ≥ 0.
2. Il prodotto scalare è bilineare, v→<v, w> è funzione lineare in v; w→<w, v> è funzione lineare in w.
3. Il prodotto scalare è simmetrico: <v, w> = <w, v>

Relazioni

Prodotto scalare di due vettori v1(x1, y1) e v2(x2, y2): <v, w> = ||v||·||w||·cosθ = (x1·x2)+(y1·y2).
Coseno dell’angolo: cosθ = <v, w>/||v||·||w||, l‘angolo ovviamente lo ricavo dalla funzione inversa del coseno.
Se θ= π/2 allora cosθ=0 e quindi <v, w> = ||v||·||w||·cosθ = 0
Se
θ=0 allora cosθ=1 e quindi <v, w> = ||v||·||w||·cosθ = ±||v||·||w||

Additività rispetto alla prima variabile: (v1+v2, w) = <v1, w>+<v2, w>
Omogeneità rispetto alla prima variabile: <λv, w> = λ<v, w>
Lo stesso concetto si ripete per l’additività e l’omogeneità rispetto alla seconda variabile.

Norma di un vettore: ||v|| = √(x2+y2) pertanto ||v|| = √<v, v>
Norma al quadrato di un vettore: ||v||2 = x2+y2
Il prodotto scalare di un vettore per sè stesso è uguale alla norma del vettore al quadrato: <v, v> = ||v||2
Il prodotto scalare della differenza di vettori è uguale alla norma al quadrato della suddetta differenza: <w-v, w-v> = ||w-v||2.

La proiezione ortogonale w di v2 su v1 vale: w = ||v2||·cosθ·(v1/||v1||) = (<v2, v1>/<v1, v1>)·v1.

A cosa serve un prodotto scalare?

Oltre a moltiplicare i moduli di due vettori, permette di calcolare la distanza tra due polinomi, l’angolo tra due applicazioni lineari, la proiezione ortogonale di una matrice…

Prodotto scalare su V

Un prodotto scalare su uno spazio vettoriale è una forma bilineare g simmetrica, questo significa che per ogni coppia di vettori v, w dello spazio vettoriale, il prodotto scalare è l’applicazione g(v, w) = g(w, v) anche se convenzionalmente, come abbiamo indicato all’inizio dell’articolo, detto prodotto viene indicato solitamente con v·w oppure con (v, w) o, prevalentemente, con <v, w>.

Nota che una forma bilineare sullo spazio vettoriale V è un’applicazione secondo la quale:
g(v1+v2, w) = g(v1, w) + g(v2, w)
g(v, w1+w2) = g(v, w1) + g(v, w2)
g(λv, w) = λg(v, w) = g(v, λw)

Nucleo di un prodotto scalare

Il nucleo di un prodotto scalare è costituito dall’insieme dei vettori v che, moltiplicati scalarmente per qualunque generico vettore w, mi restituiscono zero. C’è una certa somiglianza logica con il nucleo di un’applicazione lineare ovvero il KerT (vedi l’articolo: Dimensione – Nucleo Ker – Immagine – Rango). Il nucleo di un prodotto scalare si indica apponendo alla lettera V un apice a forma di T rovesciata.

Prodotto scalare degenere e non degenere

Un prodotto scalare su V si dice degenere se il suo nucleo contiene degli elementi altrimenti, se il suo nucleo è vuoto, si dice non degenere.

Prodotto vettoriale

Si tratta di un prodotto tra due vettori linearmente indipendenti, che determinano quindi un piano, definito unicamente su R3.  Il risultato in uscita è ancora una volta un vettore la cui particolarità è l’ortogonalità rispetto ai due vettori moltiplicati. Il prodotto vettoriale tra i vettori v e w si indica con ^ e quindi ad esempio v^w (in realtà il simbolo corretto è una v minuscola rovesciata), in alternativa si può utilizzare il simbolo della moltiplicazione imparato alle elementari che assomiglia ad una x, ovvero ×, quindi ad esempio v×w. Il prodotto vettoriale di due vettori v e w corrisponde alla norma di v moltiplicata per la norma di w moltiplicata per il seno dell’angolo compreso tra i due vettori, ovvero: v×w = ||v||·||w||·senθ. Il prodotto vettoriale è nullo quando uno dei due vettori è nullo oppure i due vettori moltiplicati sono linearmente dipendenti (collineari o paralleli) e quindi l’angolo compreso tra i due è zero ed il relativo seno vale a sua volta zero (infatti sen0=0). In pratica il prodotto vettoriale è uguale ad un terzo vettore ortogonale ai due moltiplicati.

Assiomi

1. Il prodotto vettoriale è lineare in ciascuno dei due fattori ovvero è bilineare
2. Il prodotto vettoriale è ortogonale a entrambi i fattori: (v×w)⊥v; (v×w)⊥w
3. La norma di v×w è l’area del parallelogramma (di vertici o, v, w, v+w) generato da v e w: ||v×w||=Area
4. v×w=0 se e solo se v e w sono linearmente dipendenti
5. Se v e w sono line. indip. allora la base (v, w, v×w) determina la stessa orientazione della base canonica
6. v×w è l’unico vettore che soddisfa i punti 2, 3, 5
7. Il prodotto vettoriale è anticommutativo: w×v = -v×w
8. Il prodotto vettoriale è distributivo: v×(w1+w2) = v×w1 + v×w2
9. Il prodotto vettoriale non è associativo

Relazioni

Se abbiamo i vettori v=(vx, vy, vz) e w=(wx, wy, wz) allora il prodotto vettoriale dei due equivale al determinante della matrice seguente:

Prodotto vettoriale

A cosa serve un prodotto vettoriale?

Può essere utilizzato per esprimere la distanza di un punto da una retta, la distanza tra due rette, l’area del parallelogramma generato dai due vettori moltiplicati…

Prodotto misto

Dati tre vettori u, v, w il loro prodotto misto è una quantità scalare che individua il volume del parallelepipedo da essi generato preso con il segno positivo o negativo a seconda che la terna u, v, w sia destra o sinistra (vedi la regola della mano destra), questo vale: u × v · w = (u × v) · w

Relazioni

Volume parallelepipedo: <(u×v), w> = (v·w·senα)·(w·cosβ) = area base parallelepipedo · altezza parallelepipedo

Se abbiamo i vettori u=(ux, uy, uz), v=(vx, vy, vz) e w=(wx, wy, wz) allora il prodotto misto dei tre equivale al determinante della matrice seguente:

Prodotto misto

Doppio prodotto vettoriale

Descrizione in preparazione

Divisione vettoriale

Descrizione in preparazione

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Autovalori e autovettori: esempi utili

Posted by Raffaele Berardi on 29 settembre 2012

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Tre esercizi su autovalori e autovettori

Vediamo di seguito alcuni brevi esempi, più che altro schematici, di calcolo degli autovalori e autovettori. Ognuno dei seguenti esempi fa riferimento sempre al medesimo endomorfismo di cui si parla inizialmente.

Calcolo degli autovalori di un dato endomorfismo

Mi viene assegnato un dato endomorfismo:

Calcolo degli autovalori di un endomorfismo

Scrivo la matrice associata a tale endomorfismo:

Endomorfismo, calcolo degli autovalori

Risolvo il calcolo del polinomio caratteristico pT(λ) e trovo la matrice relativa,
Calcolo il determinante della matrice appena trovata:

Calcolo degli autovalori di un endomorfismo

Risolvo l’equazione che emerge dal calcolo del deterimante:

Autovalori di un endomorfismo

Le soluzioni trovate, ovvero le soluzioni del polinomio caratteristico, sono gli autovalori λ1=1, λ2=0, λ3=2. In questo caso si tratta di 3 autovalori che hanno tutti molteplicità algebrica m = 1.

Calcolo della molteplicità algebrica

Per calcolare la molteplicità algebrica di un determinato autovalore λ di un endomorfismo è sufficiente osservare quante volte il suddetto autovalore è radice del polinomio caratteristico.

Calcolo della molteplicità geometrica

Il calcolo della molteplicità geometrica richiede semplicemente di trovare il rango (ossia la dimensione dell’immagine e quindi il numero delle colonne linearmente indipendenti) della matrice (A-λIn).

Calcolo dell’autospazio relativo agli autovalori di un dato endomorfismo

Prendo la matrice (A-λIn) e al posto di λ sostituisco l’autovalore di cui desidero trovare l’autospazio ovvero l’insieme degli autovettori corrispondenti allo stesso autovalore. Nel precedente esempio gli autovalori ricavati tramite il polinomio caratteristico sono: λ1=1, λ2=0, λ3=2.

Se mi occupo dell’autovalore λ1=1  allora la matrice (A-λIn) diventa:

Calcolo dell'autospazio relativo ad un autovalore

Da cui ricavo il sistema lineare corrispondente:

y=0,
x=0,
z libera,

ovvero l’autospazio: Vλ1 = (0, 0, z)

Se mi occupo dell’autovalore λ2=0, allora la matrice (A-λIn) diventa:

Calcolo dell'autospazio relativo ad un autovalore

Da cui ricavo il sistema corrispondente:

x+y=0 (quindi x=-y),
x+y=0,
z=0,

ovvero l’autospazio: Vλ2 = (x, -x, 0)

Se mi occupo dell’autovalore λ3=2, allora la matrice (A-λIn) diventa:

Calcolo dell'autospazio relativo ad un autovalore

Da cui ricavo il sistema corrispondente:

-x+y=0 (quindi x=y),
x-y=0,
-z=0

ovvero l’autospazio: Vλ3 = (x, x, 0)

Calcolo di base e dimensione dell’autospazio

Prendendo in esame l’esempio precedente, considerando l’autospazio Vλ1 = (0, 0, z) trovo una base semplicemente sostituendo z = 1 ed ottenendo (0, 0, 1). La dimensione dell’autospazio è ovviamente 1. Nota che la dimensione degli altri autospazi relativi agli altri due autovalori è sempre pari a 1 in quanto gli autospazi devono avere dimensione pari alla molteplicità del relativo autovalore.

Calcolo degli autovettori di un dato endomorfismo

Per calcolare gli autovettori relativi rispettivamente agli autovalori λ1=1, λ2=0, λ3=2 dell’endomorfismo proposto, devo prendere la matrice (A-λIn) nella quale sostituisco di volta in volta λ1=1, λ2=0, λ3=2 e scrivo il sistema di equazioni corrispondenti, esattamente come abbiamo visto alla voce “Autospazio”, dopodiché sarà sufficiente sostituire opportuni valori (a nostra scelta) alle variabili per ottenere il nostro autovettore.

Ad esempio per λ2=0 abbiamo ricavato l’autospazio Vλ2 = (x, -x, 0) da cui ricaviamo, sostituendo 1 alla x, l’autovettore (1, -1, 0).

Cosa ricavo dalla matrice (A-λI)?

In sostanza, per fare ordine mentale, possiamo notare che attraverso la matrice (A-λI) possiamo ottenere molto.

Se calcolo il determinante della matrice (A-λI) ottengo un’equazione le cui radici sono gli autovalori.
Se nella matrice (A-λI) sostituisco un determinato autovalore λ, troverò il relativo autospazio tramite il sistema lineare corrispondente.
Se alla matrice (A-λI) sostituisco un determinato autovalore λ, posso ricavare il relativo autovettore scrivendo il sistema di equazioni corrispondenti.
Se della matrice (A-λI), alla quale avrò sostituito un determinato autovalore λ (trovato ovviamente mediante il polinomio caratteristico), calcolo il rango ottengo la molteplicità geometrica relativa all’autovalore che avevo precedentemente inserito nella matrice.

Diagonalizzazione della matrice di un endomorfismo

Una matrice diagonale è una matrice che ha tutti gli elementi nulli ad eccezione di quelli presenti sulla diagonale. Se abbiamo una matrice A (ovviamente quadrata) diagonalizzarla significa trovare una matrice B, invertibile, che, moltiplicata per la matrice A e per la sua inversa B-1, mi permette di ricavare la matrice A’ (simile) diagonale, ovvero B-1·A·B = A’. In pratica una matrice quadrata è diagonalizzabile se è “simile” ad una matrice diagonale.

La matrice B non è altro che la matrice di cambiamento di base dalla base B di A, alla base B’ di A’.
La matrice B ha per colonne n autovettori linearmente indipendenti.
La matrice diagonale A’ ha sulla diagonale principale gli autovalori, altrove tutti zeri.

Non tutte le matrici quadrate sono diagonalizzabili, ciò è possibile solo se per ogni autovalore λ la dimensione del relativo autospazio è uguale alla molteplicità dell’autovalore stesso, inoltre tutti gli autovalori devono necessariamente essere reali e distinti.

Premesso questo si cerca una matrice B che abbia sulle colonne n autovettori linearmente indipendenti. Questo passaggio, ovviamente, viene effettuato dopo aver risolto tutti i calcoli precedentemente esposti: calcolo degli autovalori tramite il polinomio caratteristico, calcolo degli autospazi (con basi e dimensioni) e calcolo degli autovettori. Nel caso dell’endomorfismo citato in questo articolo devo costruire la matrice B mediante tre autovettori linearmente indipendenti, relativi rispettivamente a λ1=1, λ2=0, λ3=2, da mettere sulle colonne. Una volta costruita la matrice B, ricavo la sua inversa B-1 e moltiplico B*A*B-1 che deve equivalere ad A’.

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