Rubrica: Matematicamente
Titolo o argomento: Che cos’è l’orologio di Gauss
Giochi sfiziosi con la matematica
4 + 9 = 1 Vero o Falso?
Pensereste mai che questa affermazione sia vera? Abituati alla matematica basata su normali somme e sottrazioni imparate alle elementari, certamente no.
La somma basata su calcolatori a orologio di Gauss, è un’operazione a tutti più che mai familiare… La eseguiamo ogni volta che guardiamo l’ora su un orologio analogico. Ad esempio sapremo benissimo che quattro ore dopo le nove di mattina sarà l’una.
Il principio di addizione sul calcolatore a orologio è proprio questo
Si sommano i numeri e si ricava il resto dopo aver diviso il risultato per dodici. Gauss introdusse questa notazione circa 200 anni fa:
4 + 9 = 1 (modulo 12)
La moltiplicazione o l’elevamento a potenza di un numero su un calcolatore di Gauss funzionano in modo simile: si calcola il risultato su un calcolatore convenzionale, lo si divide per dodici e si prende il resto della divisione. Gauss capì inoltre che non era necessario attenersi al comune orologio da 12 ore per effettuare questo tipo di operazioni, poteva infatti utilizzare orologi con un numero primo di ore: orologi da 5 ore o da 7 ore ad esempio. Fermat studiò proprio questi esempi -circa gli orologi basati su numeri primi- poco tempo prima di Gauss.
Ipotizziamo un orologio con 5 ore sul quadrante. Se ad esempio su di esso moltiplichiamo il numero 2 per sé stesso 5 volte otteniamo 32. Ma a 32, sull’orologio di Gauss, corrisponde nuovamente 2. Perchè? Perchè se dividiamo (come detto sopra) 32 per il numero 5 otteniamo 6 con il resto di 2. Ovvero la lancetta gira 6 volte sull’orologio a 5 ore e si ferma nuovamente sull’ora 2.
Questa cosa, apparentemente inutile (attenzione ho detto apparentemente), si rivelò fondamentale nello studio dei numeri primi o meglio per tentare di trovare una ricorrenza nei numeri primi e poter prevedere ad esempio quale sarà il successivo numero primo dopo: 193.707.721
Basti pensare a questo semplice esempio che segue:
Le potenze di 2 su un calcolatore convenzionale danno i valori che leggete nella riga centrale (figura sotto) ; le potenze di due ottenute su un orologio di Gauss danno una sequenza di numeri interessante in quanto si ripete (2 – 4 – 3 – 1). Ripetendosi da la possibilità di fare previsioni… questo è il succo del discorso. Ecco la tabella:
Fermat aveva scoperto (osservando il lavoro di Gauss) che per ogni numero primo (lo chiamiamo “p”) e per ogni valore x sull’orologio con “p” ore sul quadrante, risultava:
xp = x (modulo p)
ad esempio:
-
27 = 128 sul calcolatore convenzionale
-
27 = 2 (modulo 7) sul calcolatore a orologio di Gauss
scusate, ma non ho capito l’esempio prodotto nell’allegato. Se potete per cortesia spiegare meglio.Innanzitutto, il resto della divisione di 23 con 5, fa 4 e non 2.
Saluti.
francesco
Ciao Francesco, spero di aver capito la tua domanda. Su un orologio di Gauss con un modulo di 5 ore il numero 23 viene rappresentato girando la lancetta per 4 volte (5-10-15-20) e, durante il 5°giro, essa si fermerà sull’ora numero 3. Un orologio con 5 tacche (ore) parte da 5 non da zero, proprio come l’orologio da dodici ore che usiamo quotidianamente parte da 12. Probabilmente hai considerato lo zero.
Per quanto riguarda il numero 2 che hai citato come risultato, non abbiamo ben compreso il perchè. Se rispondi cerchiamo di chiarire anche questo punto. 🙂
Ma il numero 23 non è una potenza di 2… Non so se ti riferisci all’esempio inerente le potenze di 2.
erroneamente ho scritto 23 e non 32, come indicato nel vostro esempio. pero’, ripeto, che dividendo 32 per 5, il resto dà 4 e non 2.
per la regola dell’orologio, (nell’esempio di 32) se ho ben capito, parte non da 0 ma da 5 e gira 5 volte 6 volte e si ferma sul 2. E cosi’?
Si esatto secondo l’orologio di Gauss nel caso del numero 32 rappresentato su un orologio con modulo di 5 ore, la lancetta gira 6 volte e si ferma poi sul 2 durante il giro successivo. Dividendo 32 per 5 ottieni 6 con resto di 2… 5×6=30 + il resto 2 = 32. Il 4 al quale ti riferisci è il numero dopo la virgola se fai la divisione esatta senza resto.
Grazie per la spiegazione. ultimamente, mi sento ispirato dai misteri della matematica. Specie dopo aver letto il libro di De Sautoy “L’enigma dei numeri primi”, un libro bellissimo in cui alla fine ho persino pianto. Vorrei chiedere: E’ vero che ad oggi, l’enigma di Riemann è ancora irrisolto?
grazie
Io credo proprio di sì, anche perchè se fosse stato risolto ne parlerebbero tutti i documentari ed i principali telegiornali.
A tal proposito, non sono riuscito a capire il concetto che rappresenta il nucleo del problema. Riemann ha rappresentato tali numeri primi con la funzione Z. Ma non ho capito di cosa si tratta. Riesce a spiegarlo con parole semplici?
grazie
Purtroppo non sono in grado di rispondere in maniera così approfondita sul tema; sarebbe necessario rivolgersi ad un professore di matematica presso un dipartimento di scienze matematiche di una facoltà come ingegneria. 🙂