Rubrica: Officina della Matematica
Titolo o argomento: Tre esercizi su autovalori e autovettori
Vediamo di seguito alcuni brevi esempi, più che altro schematici, di calcolo degli autovalori e autovettori. Ognuno dei seguenti esempi fa riferimento sempre al medesimo endomorfismo di cui si parla inizialmente.
Calcolo degli autovalori di un dato endomorfismo
Mi viene assegnato un dato endomorfismo:
Scrivo la matrice associata a tale endomorfismo:
Risolvo il calcolo del polinomio caratteristico pT(λ) e trovo la matrice relativa,
Calcolo il determinante della matrice appena trovata:
Risolvo l’equazione che emerge dal calcolo del deterimante:
Le soluzioni trovate, ovvero le soluzioni del polinomio caratteristico, sono gli autovalori λ1=1, λ2=0, λ3=2. In questo caso si tratta di 3 autovalori che hanno tutti molteplicità algebrica m = 1.
Calcolo della molteplicità algebrica
Per calcolare la molteplicità algebrica di un determinato autovalore λ di un endomorfismo è sufficiente osservare quante volte il suddetto autovalore è radice del polinomio caratteristico.
Calcolo della molteplicità geometrica
Il calcolo della molteplicità geometrica richiede semplicemente di trovare il rango (ossia la dimensione dell’immagine e quindi il numero delle colonne linearmente indipendenti) della matrice (A-λIn).
Calcolo dell’autospazio relativo agli autovalori di un dato endomorfismo
Prendo la matrice (A-λIn) e al posto di λ sostituisco l’autovalore di cui desidero trovare l’autospazio ovvero l’insieme degli autovettori corrispondenti allo stesso autovalore. Nel precedente esempio gli autovalori ricavati tramite il polinomio caratteristico sono: λ1=1, λ2=0, λ3=2.
Se mi occupo dell’autovalore λ1=1 allora la matrice (A-λIn) diventa:
Da cui ricavo il sistema lineare corrispondente:
y=0,
x=0,
z libera,
ovvero l’autospazio: Vλ1 = (0, 0, z)
Se mi occupo dell’autovalore λ2=0, allora la matrice (A-λIn) diventa:
Da cui ricavo il sistema corrispondente:
x+y=0 (quindi x=-y),
x+y=0,
z=0,
ovvero l’autospazio: Vλ2 = (x, -x, 0)
Se mi occupo dell’autovalore λ3=2, allora la matrice (A-λIn) diventa:
Da cui ricavo il sistema corrispondente:
-x+y=0 (quindi x=y),
x-y=0,
-z=0
ovvero l’autospazio: Vλ3 = (x, x, 0)
Calcolo di base e dimensione dell’autospazio
Prendendo in esame l’esempio precedente, considerando l’autospazio Vλ1 = (0, 0, z) trovo una base semplicemente sostituendo z = 1 ed ottenendo (0, 0, 1). La dimensione dell’autospazio è ovviamente 1. Nota che la dimensione degli altri autospazi relativi agli altri due autovalori è sempre pari a 1 in quanto gli autospazi devono avere dimensione pari alla molteplicità del relativo autovalore.
Calcolo degli autovettori di un dato endomorfismo
Per calcolare gli autovettori relativi rispettivamente agli autovalori λ1=1, λ2=0, λ3=2 dell’endomorfismo proposto, devo prendere la matrice (A-λIn) nella quale sostituisco di volta in volta λ1=1, λ2=0, λ3=2 e scrivo il sistema di equazioni corrispondenti, esattamente come abbiamo visto alla voce “Autospazio”, dopodiché sarà sufficiente sostituire opportuni valori (a nostra scelta) alle variabili per ottenere il nostro autovettore.
Ad esempio per λ2=0 abbiamo ricavato l’autospazio Vλ2 = (x, -x, 0) da cui ricaviamo, sostituendo 1 alla x, l’autovettore (1, -1, 0).
Cosa ricavo dalla matrice (A-λI)?
In sostanza, per fare ordine mentale, possiamo notare che attraverso la matrice (A-λI) possiamo ottenere molto.
Se calcolo il determinante della matrice (A-λI) ottengo un’equazione le cui radici sono gli autovalori.
Se nella matrice (A-λI) sostituisco un determinato autovalore λ, troverò il relativo autospazio tramite il sistema lineare corrispondente.
Se alla matrice (A-λI) sostituisco un determinato autovalore λ, posso ricavare il relativo autovettore scrivendo il sistema di equazioni corrispondenti.
Se della matrice (A-λI), alla quale avrò sostituito un determinato autovalore λ (trovato ovviamente mediante il polinomio caratteristico), calcolo il rango ottengo la molteplicità geometrica relativa all’autovalore che avevo precedentemente inserito nella matrice.
Diagonalizzazione della matrice di un endomorfismo
Una matrice diagonale è una matrice che ha tutti gli elementi nulli ad eccezione di quelli presenti sulla diagonale. Se abbiamo una matrice A (ovviamente quadrata) diagonalizzarla significa trovare una matrice B, invertibile, che, moltiplicata per la matrice A e per la sua inversa B-1, mi permette di ricavare la matrice A’ (simile) diagonale, ovvero B-1·A·B = A’. In pratica una matrice quadrata è diagonalizzabile se è “simile” ad una matrice diagonale.
La matrice B non è altro che la matrice di cambiamento di base dalla base B di A, alla base B’ di A’.
La matrice B ha per colonne n autovettori linearmente indipendenti.
La matrice diagonale A’ ha sulla diagonale principale gli autovalori, altrove tutti zeri.
Non tutte le matrici quadrate sono diagonalizzabili, ciò è possibile solo se per ogni autovalore λ la dimensione del relativo autospazio è uguale alla molteplicità dell’autovalore stesso, inoltre tutti gli autovalori devono necessariamente essere reali e distinti.
Premesso questo si cerca una matrice B che abbia sulle colonne n autovettori linearmente indipendenti. Questo passaggio, ovviamente, viene effettuato dopo aver risolto tutti i calcoli precedentemente esposti: calcolo degli autovalori tramite il polinomio caratteristico, calcolo degli autospazi (con basi e dimensioni) e calcolo degli autovettori. Nel caso dell’endomorfismo citato in questo articolo devo costruire la matrice B mediante tre autovettori linearmente indipendenti, relativi rispettivamente a λ1=1, λ2=0, λ3=2, da mettere sulle colonne. Una volta costruita la matrice B, ricavo la sua inversa B-1 e moltiplico B*A*B-1 che deve equivalere ad A’.
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