Rubrica: Matematicamente
Titolo o argomento: Che cos’è l’orologio di Gauss
Giochi sfiziosi con la matematica
4 + 9 = 1 Vero o Falso?
Pensereste mai che questa affermazione sia vera? Abituati alla matematica basata su normali somme e sottrazioni imparate alle elementari, certamente no.
La somma basata su calcolatori a orologio di Gauss, è un’operazione a tutti più che mai familiare… La eseguiamo ogni volta che guardiamo l’ora su un orologio analogico. Ad esempio sapremo benissimo che quattro ore dopo le nove di mattina sarà l’una.
Il principio di addizione sul calcolatore a orologio è proprio questo
Si sommano i numeri e si ricava il resto dopo aver diviso il risultato per dodici. Gauss introdusse questa notazione circa 200 anni fa:
4 + 9 = 1 (modulo 12)
La moltiplicazione o l’elevamento a potenza di un numero su un calcolatore di Gauss funzionano in modo simile: si calcola il risultato su un calcolatore convenzionale, lo si divide per dodici e si prende il resto della divisione. Gauss capì inoltre che non era necessario attenersi al comune orologio da 12 ore per effettuare questo tipo di operazioni, poteva infatti utilizzare orologi con un numero primo di ore: orologi da 5 ore o da 7 ore ad esempio. Fermat studiò proprio questi esempi -circa gli orologi basati su numeri primi- poco tempo prima di Gauss.
Ipotizziamo un orologio con 5 ore sul quadrante. Se ad esempio su di esso moltiplichiamo il numero 2 per sé stesso 5 volte otteniamo 32. Ma a 32, sull’orologio di Gauss, corrisponde nuovamente 2. Perchè? Perchè se dividiamo (come detto sopra) 32 per il numero 5 otteniamo 6 con il resto di 2. Ovvero la lancetta gira 6 volte sull’orologio a 5 ore e si ferma nuovamente sull’ora 2.
Questa cosa, apparentemente inutile (attenzione ho detto apparentemente), si rivelò fondamentale nello studio dei numeri primi o meglio per tentare di trovare una ricorrenza nei numeri primi e poter prevedere ad esempio quale sarà il successivo numero primo dopo: 193.707.721
Basti pensare a questo semplice esempio che segue:
Le potenze di 2 su un calcolatore convenzionale danno i valori che leggete nella riga centrale (figura sotto) ; le potenze di due ottenute su un orologio di Gauss danno una sequenza di numeri interessante in quanto si ripete (2 – 4 – 3 – 1). Ripetendosi da la possibilità di fare previsioni… questo è il succo del discorso. Ecco la tabella:
Fermat aveva scoperto (osservando il lavoro di Gauss) che per ogni numero primo (lo chiamiamo “p”) e per ogni valore x sull’orologio con “p” ore sul quadrante, risultava:
xp = x (modulo p)
ad esempio:
-
27 = 128 sul calcolatore convenzionale
-
27 = 2 (modulo 7) sul calcolatore a orologio di Gauss