Simulare la fisica con Algodoo

Se ti affascina simulare tutto ciò che è strettamente legato a leggi fisiche in modo semplice e divertente, non ti resta che visitare il sito Algodoo.com (una volta conosciuto come phunland.com) per scaricare gratis una l’ultima versione valutativa del software di simulazione fisica 2D Algodoo (una volta conosciuto come Phun). In alternativa puoi scaricare le precedenti versioni completamente free.

Con Algodoo puoi simulare di tutto e di più… Per esempio puoi generare un piano (orizzontale o inclinato),  disegnarci sopra un veicolo, aggiungergli le ruote, gli ammortizzatori, un motore (o più di uno) che eroghi una determinata coppia e raggiunga un determinato regime di rotazione, distribuire le masse, scegliere i materiali, la densità e la massa di ogni componente, l’attrito generato tra le parti a contatto, la presenza del vento, la forza di gravità alla quale deve essere sottoposto il sistema, gli oscacoli che incontrerà lungo il percorso il tuo veicolo… Ma non solo! Si possono simulare fenomeni ottici (riflessione, rifrazione, laser, lenti…), meccanismi, ruote dentate, trasmissioni, catene, carrucole,  leve, biellismi, manovellismi, sistemi di sospensioni, liquidi, pompe, corpi galleggianti, urti di vario genere, di tutto. Si possono inoltre ricavare in tempo reale, con una sorta di telemetria (ma sarebbe più corretto dire con un sistema di rilevamento dati), una gran mole di dati su quanto sta accadendo nel vostro sistema fisico simulato.

Ogni versione del software è arricchita con numerosi esempi di sistemi fisici già pronti. In tal modo è possibile comprendere rapidamente le potenzialità del programma. Nel video in basso trovate una rapida guida che vi permette di destreggiare gran parte delle funzioni disponibili in pochi minuti.

Sul sito Algodoo.com trovi tutto ciò che ti occorre

algodoo_tutorial

Clicca sull’immagine per vedere un curioso tutorial…

Combinazione lineare, span, lineare dipendenza e indipendenza

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Concetti che ruotano attorno al vettore combinazione lineare

Se ci troviamo in uno spazio vettoriale V, la combinazione lineare di “n” vettori v1, v2, …, vn (appartenenti allo spazio vettoriale V) con coefficienti α1, α2, …, αn (appartenenti al campo K – per la definizione di campo vedi l’articolo: Assiomi campo ed assiomi spazio vettoriale) è il vettore appartenente allo spazio vettoriale V:

α1v1 + α2v2 + … + αnvn

Lo Span è l’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari generate da v1, v2, …, vn. Lo Span è sempre un sottospazio vettoriale di V. Nell’articolo “Sistema di riferimento affine, Base e Span”, abbiamo definito lo Span come il piano generato dai vettori che costituiscono la Base di V02.

Sono linearmente dipendenti i vettori v1, v2, …, vn (appartenenti allo spazio vettoriale V) quando la combinazione lineare è:

α1v1 + α2v2 + … + αnvn = 0

con i coefficienti α1, α2, …, αn (appartenenti al campo K) non tutti nulli (ovvero dove almeno un elemento non è nullo).

Sono linearmente indipendenti i vettori v1, v2, …, vn (appartenenti allo spazio vettoriale V) quando la combinazione lineare è:

 α1v1 + α2v2 + … + αnvn = 0

con i coefficienti α1, α2, …, αn (appartenenti al campo K) tutti nulli.

Campo vettoriale conservativo

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Definizione di campo vettoriale conservativo

Il campo vettoriale conservativo è un campo le cui coordinate sono costituite dal gradiente di un potenziale.

coordinate campo vettoriale conservativo

In altre parole, se un campo vettoriale è conservativo, esiste una funzione potenziale il cui gradiente è uguale al vettore che descrive il campo: v = ∇ψ dove “v” è il campo vettoriale e “∇ψ” è il gradiente della funzione potenziale “ψ“. Il campo gravitazionale è un esempio di campo vettoriale conservativo.

Se F=(F1, F2, F3) è un campo vettoriale (o funzione vettoriale) nello spazio tridimensionale, la cui forma differenziale è esatta, allora tale campo vettoriale si definisce anche conservativo.

La forma differenziale della suddetta funzione è la seguente: F1 dx + F2 dx + F3 dx.

Gradiente di uno scalare

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Gradiente di uno scalare

Sia “p” uno scalare (ad esempio la pressione o la temperatura) e sia V = (V1, V2, V3) un vettore (ad esempio un vettore velocità). Siano entrambi funzione del punto (x1, x2, x3) o se vogliamo del punto (x, y, z), è la stessa cosa. Il gradiente di uno scalare è il seguente vettore:

 gradiente di uno scalare

Il simbolo operatore differenziale vettoriale nabla è l’operatore differenziale vettoriale Nabla e lo scalare “p” è detto”Potenziale del risultante campo vettoriale”. E’ anche possibile definire il gradiente di un vettore (gradV) applicando la definizione nella formula sopra ad ogni componente. Il risultato che si ottiene è il seguente (gradV1, gradV2, gradV3) ed è un vettore di vettori.

Forma differenziale

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Definizione di forma differenziale lineare

Si definisce forma differenziale lineare in due variabili l’espressione:

a(x,y) dx + b(x,y) dy

Dove le funzioni “a” e “b” sono i coefficienti della forma differenziale. Se tali coefficienti sono funzioni continue (o di classe C1) allora la forma differenziale si dirà continua (o di classe C1). Possiamo considerare la “forma differenziale” semplicemente come un’estensione del concetto di funzione matematica a più variabili.

Una forma differenziale viene chiamata “ω” ed è definita su un insieme aperto di Rn (per intenderci R è lo spazio ad una dimensione, R2 è lo spazio a due dimensioni, R3 è lo spazio a tre dimensioni); essa ha una dimensione (chiamata k) che può essere minore o uguale a n ovvero alla dimensione dello spazio euclideo Rn che la contiene. Una forma differenziale può anche essere chiamata k-forma.

L’interesse riguardo le “forme differenziali” risiede nel fatto che si può effettuare l’integrale della forma differenziale stessa su un qualsiasi oggetto geometrico (es. curva, superficie, volume) di Rn. Ovviamente lo spazio euclideo Rn e la forma differenziale (o k-forma) devono avere la stessa dimensione, ovvero n=k.

Una 1-forma è pertanto integrabile su una curva, una 2-forma è integrabile su una superficie ed una 3-forma su un volume.