Categoria: MatematicaMENTE FisicaMENTE LogicaMENTE

Allena la mente conoscendo meglio la matematica usando poi la maggiore elasticità mentale per migliorare la tua vita ed il tuo lavoro…

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Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee del primo ordine

Rubrica: Matematicamente, Speciale equazioni differenziali – Parte II
Titolo o argomento: Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee del primo ordine a coeff. costanti

Vi propongo in questo articolo un file pdf allegato (in basso) nel quale ho riportato sia il tipo di equazione differenziale di cui sopra (completo di insieme delle soluzioni), sia un semplice esempio di svolgimento completo di piccoli suggerimenti aggiunti con la tavoletta grafica.

In questa rubrica “Speciale equazioni differenziali” trattemo in modo semplificato tutte le principali tipologie di equazioni differenziali. Il lavoro di approfondimento, come al solito, spetta a voi. Se desideri una rapida e comoda classificazione delle equazioni differenziali per fare ordine durante i tuoi studi dai un’occhiata ai link correlati.

Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee del primo ordine: PDF

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Classificazione equazioni differenziali
Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee a coefficienti costanti
Equazioni differenziali ordinarie lineari NON omogenee

equazioni_differenziali_classificazione-copia.jpg

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Classificazione delle equazioni differenziali

Rubrica: Matematicamente, Speciale equazioni differenziali – Parte I

Titolo o argomento: Classificazione delle equazioni differenziali

Sebbene possa sembrare insolito, non ho trovato né su internet né su diversi libri di testo una semplice classificazione delle equazioni differenziali che potesse permettere a chi ci si avvicina seriamente per la prima volta, di poter svolgere gli esercizi avendo con sé una sorta di riferimento dove visionare davanti a quale tipo, quale categoria, quale forma di equazione differenziale si trova.

Capisco che i paragrafi di un libro di Analisi Matematica possono risultare perfettamente in ordine per una persona esperta quale è un professore. Tuttavia ho notato che per gli studenti che utilizzano vecchi appelli per esercitarsi, risalire al tipo di equazione differenziale che si ha davanti, può risultare molto confusionario.

Ecco quindi una rapida classificazione delle equazioni differenziali che vengono trattate nel corso di Analisi Matematica 2 di Ing. Meccanica e di diverse altre facoltà. In seguito vedremo anche il metodo risolutivo delle principali tipologie di equazioni differenziali.

Classificazione equazioni differenziali: PDF

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Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee a coefficienti costanti
Equazioni differenziali ordinarie lineari NON omogenee

equazioni_differenziali_classificazione-copia.jpg

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Coordinate sferiche

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Coordinate sferiche

Coordinate sferiche: le tre coordinate, in genere indicate con (ρ, φ, θ) che estendeno il sistema bidimensionale polare: ρ è la distanza dal polo, φ è l’angolo formato con l’asse z e θ è l’angolo formato con l’asse x.

Le coordinate sferiche del punto di coordinate (ρ, φ, θ) sono:

(x,y,z) = (ρ·senφ·cosθ, ρ·senφ·senθ, ρcosφ)

coordinate_curvilinee_sferiche.jpg

Le coordinate sferiche fanno parte della famiglia delle coordinate “curvilinee” assieme alle coordinate ellittiche, cilindriche e polari di cui abbiamo parlato e di cui parleremo nel proseguimento di questa rubrica.
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Disuguaglianza triangolare

 

Rubrica: Una frase per teorema

Titolo o argomento: Disuguaglianza triangolare

Che cos’è?

E’ una proprietà matematica del modulo.

A cosa serve?

E’ molto utile quando ad esempio hai necessità di maggiorare una funzione con il modulo (analisi matematica 2) o per la dimostrazione di alcuni teoremi di analisi matematica 1 quali ad esempio: Il teorema dell’unicità del limite.

In pratica?

Il modulo della somma di due numeri reali è minore o tutt’al più uguale alla somma dei moduli degli stessi numeri presi singolarmente:

| x + y | ≤ |x|+|y|

Un esempio numerico?

|3+(-5)| ≤ |3|+|-5|

|-2| ≤ |3| + |-5|

2 ≤ 3+5 = 2 ≤ 8 VERO

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Coordinate cilindriche

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Coordinate cilindriche

Coordinate cilindriche: le tre coordinate, in genere indicate con (r, θ, h) o con (ρ, θ, z) che estendeno il sistema bidimensionale polare aggiungendo la coordinata “h” (oppure “z”), che misura l’altezza di un punto dal piano base, in modo del tutto simile a quello che introduce la terza dimensione nel piano cartesiano.
Le coordinate cilindriche del punto di coordinate (r,θ, h) sono:

(x,y,z) = (r·cosθ, r·sinθ, z)

coordinate_curvilinee_cilindriche.jpg

Le coordinate cilindriche fanno parte della famiglia delle coordinate
“curvilinee” assieme alle coordinate sferiche, ellittiche e polari di cui
abbiamo parlato nel corso di questa rubrica.
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Limiti di successioni – Convergenza

Rubrica: Una frase per teorema

Titolo o argomento: Limiti di successioni

Perchè si studiano?

Sono utilissimi quando si vanno a calcolare aree per mezzo degli integrali.

Cosa sono?

Una successione è una legge che ad ogni numero naturale “n” fa corrispondere uno e un solo numero reale an.

Posso vedere un esempio “grafico”?

La successione an ha un limite che si chiama “a” (“a” è un numero reale), qualunque sia il margine che scegli intorno ad “a” (a-ε; a+ε) esiste un indice ν (nelle immagini sotto prima ν=5 e poi ν=7) tale che per n>ν (quindi per n>5 oppure per n>7 nel caso dopo e quindi ad esempio per a5,9 oppure a7,5 nel caso dopo), an rientra nell’intervallo: ana-ε<an<a+ε.

a.jpg b.jpg

In pratica?

In pratica esiste un indice ν (ni) che se viene superato da n allora la successione an cade dentro l’intervallo a-ε;  a+ε pertanto risulta vero che “a” è il limite di “an”.

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Coordinate polari

Rubrica: Officina della Matematica
Titolo o argomento: Coordinate polari

Coordinate polari: le due coordinate, in genere indicate con (r,θ) o con (ρ,θ), che individuano un punto nel piano mediante la lunghezza “r” del segmento (modulo) che unisce il punto all’origine (o polo) e l’angolo “θ” (argomento) formato da tale segmento con un asse prefissato. Le coordinate polari suddividono il vettore in una componente scalare, il modulo, e in una componente di rotazione, l’argomento.

Le coordinate polari del punto di coordinate (ρ,θ) sono:

(x,y) = (ρ·cosθ, ρ·sinθ)

Prodotto in coordinate polari

Il prodotto in coordinate polari tra v1 = (x1, y1) e v2 = (x2, y2) si calcola (ovviamente tenendo conto del fatto che (x,y) = (ρ·cosθ, ρ·sinθ) ) come segue: v1 · v2 = ρ1ρ2 (cos(θ1+θ2), sin(θ1+θ2)) e sviluppato con le opportune formule goniometriche di addizione e sottrazione del seno e del coseno.

Prodotto in coordinate cartesiane

L’equivalente del prodotto in coordinate polari, in coordinate cartesiane, si scrive come segue: (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 – y1y2, x1y2 + x2y1) che altro non è che il prodotto che si adotta con i numeri complessi (vedi gli articoli: Numeri complessi, Numeri complessi – parte seconda).

coordinate_polari.png

Le coordinate polari fanno parte della famiglia delle
coordinate “curvilinee” assieme alle coordinate
sferiche, cilindriche ed ellittiche.
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Coordinate cartesiane (o rettangolari)

Rubrica: Officina della Matematica
Titolo o argomento: Coordinate cartesiane (o rettangolari)

Coordinate cartesiane: un sistema per la rappresentazione di un punto nello spazio nei termini della sua distanza, misurata lungo un sistema di assi perpendicolari tra loro, a partire da una data origine.

Per convenzione le direzioni positive vengono prese verso destra e in alto. Sempre per convenzione il primo quadrane è quello nel quale entrambe le quantità sono positive. I quadranti successivi vanno ricercati in senso antiorario a partire dal primo.

coordinate_cartesiane.jpg

Un banale esempio che mostra le convenzioni spiegate in questo articolo
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Officina della Matematica

Gli attrezzi per costruire i tuoi esami

A breve partirà su questo blog una nuova rubrica intitolata “Officina della Matematica”, sarà divisa in circa 30 articoli e si svolgerà nel corso del 2010. Lo scopo di questa rubrica, come il nome lascia intendere, è quello di esporre in modo chiaro e semplice un piccolo catalogo di strumenti di matematica molto utili per superare gli esami universitari in particolar modo presso le facoltà di Ingegneria.

Un set di chiavi di manovra, cacciaviti e pinze sono alla base del fabbisogno di strumenti di cui un meccanico necessita per intervenire su un problema tecnico. Senza questi strumenti non può operare. Se ne ha solo alcuni impiegherà molto più tempo del dovuto con ovvie conseguenze in termini di sprechi…

Allo stesso modo, in matematica, ci sono una serie di strumenti che occorrono per affrontare in modo rapido ed efficiente i problemi posti dagli esami. Spesso si tenta di superare gli esami “arrangiando” le conoscenze in matematica senza rendersi conto che, affrontando superficialmente “Analisi 1 e 2”, si impiegherà molto più tempo per superare gli esami tecnici successivi (vedi Ing. Meccanica – Elettronica…). Operatori ed operazioni in matematica sono l’esatto equivalente di chiavi, pinze e quant’altro occorre per operare in officina meccanica. Talvolta però occorre fare calcoli, connessioni logiche… ed ecco allora che si ha bisogno di un altro tipo di officina: l’Officina della Matematica.