Rubrica: Matematicamente, Speciale funzioni matematiche – 4
Titolo o argomento: Come si studia una funzione matematica
Le principali cose da osservare
Innanzi tutto ti anticipiamo che più sembra complicata la funzione e più ques’ultima si semplifica, tuttavia negli appelli di Analisi Matematica 1 esistono funzioni senz’altro più lunghe da studiare ma non per questo particolarmente difficili. E’ necessario distinguere la difficoltà dalla lunghezza dello studio di una funzione. Vedremo nei prossimi articoli interessanti esercizi svolti e spiegati in modo realmente elementare. Se ci seguite già da ora vi consigliamo di ripassare le equazioni e le disequazioni di 2° grado, nonché derivate e calcolo dei limiti, prima di attingere agli esercizi svolti che pubblicheremo. Un minimo impegno da parte vostra è logicamente indispensabile 😀
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I passaggi fondamentali e, soprattutto, i perchè
DOMINIO o insieme di definizione della Funzione. Ci serve, in parole povere, per sapere dove, sugli assi cartesiani, la funzione sarà presente o meno (dove potrà passare il grafico e dove no). Solitamente indichiamo con un tratteggio il punto o uno dei punti dell’asse X dove la funzione NON ESISTE. E’ probabile che in questi particolari punti ci siano degli asintoti come vedremo più avanti. Nell’esempio in figura sotto: Y=X/(X-2), il dominio è D=R-[2]. Questo perchè, ovviamente Y= 2/0 NON ESISTE. Viceversa se la funzione fosse stata il reciproco y=(x-2)/2, essendo y=0/2, allora la funzione sarebbe ESISTITA e sarebbe valsa ZERO. Il relativo dominio sarebbe stato tutto R (ovvero tutto l’insieme dei numeri Reali).
y=x/(x-2)
Si analizza se la funzione che andiamo a studiare ha qualche SIMMETRIA ovvero se è PARI o DISPARI…
FUNZIONE PARI: se f(-x)=f(x) allora la funzione è pari in quanto sostituendo (AD ESEMPIO) alla x sia il valore 2 , sia il valore -2, otteniamo lo stesso “output”. Tipiche funzioni pari sono y=x^2 (che significa X elevato alla seconda) e y=cos(x). Se ad y=x^2 sostituiamo x=-2 oppure x=2, la funzione da sempre come valore d’uscita y=4. Quindi è pari.
FUNZIONI DISPARI: se f(-x)=-f(x) allora la funzione è dispari. Tipiche funzioni dispari sono y=x e y=sen(x). Se ad y=x sostituiamo x=-1 oppure x=1, otteniamo differenti valori della y.
ASINTOTO VERTICALE:
limx→X0 f(x) = ± ∞
Se sull’asse delle X, più ci avviciniamo ad un punto (X0) e più la funzione va verso +∞ oppure -∞, allora ci troviamo davanti ad un asintoto verticale. Non serve ricordarsi il limite scritto qui sopra a memoria… è più facile ricordarsi l’immagine sotto ed il senso che ha.
y=1/log(x-1)
ASINTOTO ORIZZONTALE:
limx→±∞ f(x) = L (appartenente ad R)
Se sull’asse delle X, più ci spingiamo all’infinito (± infinito) e più la funzione si avvicina asintoticamente ad un punto preciso dell’asse delle y, allora ci troviamo davanti ad un asintoto orizzontale. Non serve ricordarsi il limite scritto qui sopra a memoria… è più facile ricordarsi l’immagine sotto ed il senso che ha. Più andate avanti verso +∞ e più la funzione si avvicina asintoticamente alla retta y=2 (tanto per fare un esempio). In questo particolare esempio questo accade anche muovendosi verso -∞ ma non è detto sia per forza così.
y=(2x)/(x-2)
ASINTOTO OBLIQUO
Anticipiamo subito che se la funzione è dotata di asintoto orizzontale, è inutile andare a cercare l’asintoto obliquo. Calcolandolo trovereste nuovamente l’equazione della retta dell’asintoto orizzontale. Se c’è asintoto orizzontale non c’è asintoto obliquo.
L’equazione dell’asintoto obliquo è l’equazione lineare:
y=mx+q ovvero: y-mx-q=0 → [y-(mx+q)]=0 → [f(x)-(mx+q)]=0
ed il limite dell’asintoto obliquo è: limx→+∞[f(x)-(mx+q)]=0
dove:
m=limx→+∞f(x)/x
q=limx→+∞[f(x)-mx]
E’ ovvio che se c’è asintoto orizzontale (ad esempio y=2) ne segue che m=0 in quanto sarebbe: y= 0·x + q ovvero: y= q (nel nostro esempio y=2). Ragione per cui non ha senso calcolare l’asintoto obliquo se vi è quello orizzontale.
y=(x-1)3/(x-2)2 il cui asintoto obliquo vale y=x+1
m=limx→+∞ [(x-1)3/(x-2)2]/x=1
q=limx→+∞ [((x-1)3/(x-2)2)-mx]=1
INTERVALLI DI CRESCENZA – DECRESCENZA
Dov’è che il grafico cresce? Dove decresce? In che punto raggiunge un minimo o un massino? Calcola la derivata prima della funzione che stai studiando
Crescenza quando f'(x)>0 Il risultato è l’intervallo nel quale la funzione cresce.
Decrescenza quando f'(x)<0 Il risultato è l’intervallo nel quale la funzione decresce.
Massimo o minimo relativo quando f ‘(x)=0. Quando la “derivata prima” si azzera ci troviamo davanti ad un massimo o minimo relativo.
Intuiamo se si tratta di un massimo o un minimo già osservando i limiti precedentemente studiati, oppure osservando se la funzione cresce e poi decresce (ad esempio) ci troviamo davanti ad un massimo relativo (è ovvio… perchè?) o viceversa… O ancora possiamo capire se ci troviamo davanti ad un massimo o un minimo relativo studiando Convessità – Concavità.
INTERVALLI DI CONVESSITà – CONCAVITà
Dov’è che il grafico è convesso? Dov’è che il grafico è concavo? Cos’è un punto di flesso? Calcola la derivata seconda della funzione che stai studiando
Convessa quando f ”(x)>0 Il risultato è l’intervallo nel quale la funzione è convessa.
(Graficamente) Convessa quando le rette tangenti si trovano sotto la curva.
Concava quando f ”(x)<0 Il risultato è l’intervallo nel quale la funzione è concava.
(Graficamente) Concava quando le rette tangenti si trovano sopra la curva.
Flesso quando f ”(x)=0
Continua…
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