Rubrica: Officina della Matematica
Titolo o argomento: Definizione di forma differenziale lineare
Si definisce forma differenziale lineare in due variabili l’espressione:
a(x,y) dx + b(x,y) dy
Dove le funzioni “a” e “b” sono i coefficienti della forma differenziale. Se tali coefficienti sono funzioni continue (o di classe C1) allora la forma differenziale si dirà continua (o di classe C1). Possiamo considerare la “forma differenziale” semplicemente come un’estensione del concetto di funzione matematica a più variabili.
Una forma differenziale viene chiamata “ω” ed è definita su un insieme aperto di Rn (per intenderci R è lo spazio ad una dimensione, R2 è lo spazio a due dimensioni, R3 è lo spazio a tre dimensioni); essa ha una dimensione (chiamata k) che può essere minore o uguale a n ovvero alla dimensione dello spazio euclideo Rn che la contiene. Una forma differenziale può anche essere chiamata k-forma.
L’interesse riguardo le “forme differenziali” risiede nel fatto che si può effettuare l’integrale della forma differenziale stessa su un qualsiasi oggetto geometrico (es. curva, superficie, volume) di Rn. Ovviamente lo spazio euclideo Rn e la forma differenziale (o k-forma) devono avere la stessa dimensione, ovvero n=k.
Una 1-forma è pertanto integrabile su una curva, una 2-forma è integrabile su una superficie ed una 3-forma su un volume.