Assiomi campo ed assiomi spazio vettoriale

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Gli assiomi del campo e dello spazio vettoriale

In tutti gli insiemi numerici studiati in geometria sono definite due operazioni: la somma (+) ed il prodotto (·). Questi godono delle proprietà riportate di seguito le quali prendono il nome di assiomi campo.

Assiomi campo

1. Proprietà associativa della somma: per ogni a, b, c si ha che (a + b) + c = a + (b + c).

2. Esistenza dell’elemento neutro per la somma: esiste un “a0” tale che per ogni “a” abbiamo che (a + a0) = (a0 + a) = a, dove l’elemento a0 (ovvero l’elemento neutro)  non è altro che lo zero.

3. Esistenza dell’opposto: per ogni “a” esiste un “a1” tale che (a + a1) = (a1 + a) = a0, dove a1 non è altro che -a.

4. Proprietà commutativa della somma: per ogni a + b = b + a.

5. Proprietà distributiva della somma rispetto al prodotto: per ogni a, b, c si ha che a · (b + c) = a · b + a · c.

6. Proprietà associativa del prodotto: per ogni a, b, c  si ha che (a · b) · c = a · (b · c).

7. Esistenza dell’elemento neutro per il prodotto: esiste un “a1” tale che per ogni a · a1 = a1 · a =  a, dove  l’elemento a1 (ovvero l’elemento neutro) non è altro che 1.

8. Esistenza dell’inverso: per ogni a diverso da zero, esiste  un ã tale che a · ã = ã · a = a1, dove l’elemento “a1″ non è altro che a-1 ovvero 1/a.

9. Proprietà commutativa del prodotto: per ogni a, b si ha che a · b =  b · a

Uno spazio vettoriale (ovvero uno spazio lineare) su R (l’insieme dei Reali) è un insieme che possiamo chiamare V dove sono definite due operazioni: la somma (dove due elementi di V, sommati, formano un nuovo elemento di V) ed il prodotto per scalari (dove il prodotto di un elemento di R per uno di V, mi restituisce un elemento di V). La somma ed il prodotto per scalari soddisfano le proprietà riportate di seguito le quali prendono il nome di assiomi dello spazio vettoriale.

Note

Gruppo: trattasi di un insieme che soddisfa le proprietà 1, 2, 3 sopra elencate

Gruppo commutativo: un insieme che soddisfa le proprietà 1, 2, 3, 4 sopra elencate

Anello: si tratta di un insieme che soddisfa le proprietà 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sopra elencate

Anello commutativo: un insieme che soddisfa le proprietà 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 sopra elencate

Corpo: un insieme che soddisfa le proprietà 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 sopra elencate

Campo: un insieme che soddisfa tutte le proprietà 1-9 sopra riportate

Assiomi spazio vettoriale

1. Per ogni u, v, w appartenenti allo spazio vettoriale V, si ha che: (u + v) + w = u + (v + w).

2. Esiste uno 0 appartenente allo spazio vettoriale V tale che, per ogni elemento v appartenente a V, si ha che: v + 0 = 0 + v = v.

3. Per ogni elemento v appartenente allo spazio vettoriale V, esiste un elemento -v (sempre appartenente allo spazio vettoriale V) tale che: v + (-v) = (-v) + v = 0.

4. Per ogni v, w appartenenti allo spazio vettoriale V si ha che: v + w = w + v.

5. Per ogni λ appartenente ad R (l’insieme dei Reali)  e per ogni v, w appartenenti allo spazio vettoriale V si ha che: λ · (v + w) = λ · v + λ · w.

6. Per ogni λ, μ appartenenti ad R (l’insieme dei Reali) e per ogni v appartenente allo spazio vettoriale V si ha che: (λ + μ) · v = λ · v + μ · v.

7. Per ogni λ, μ appartenenti ad R (l’insieme dei Reali) e per ogni v appartenente allo spazio vettoriale V si ha che: (λ · μ) · v = λ · (μ · v).

8. Per ogni elemento v appartenente allo spazio vettoriale V si ha che: 1 · v = v e 0 · v = 0.

Introduzione alle matrici

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Introduzione alle matrici

L’articolo che segue “ovviamente” non sostituisce le importanti nozioni riportate in un ottimo libro, quanto riportato ha il solo ed unico scopo di fungere da memorandum di rapida esplorazione. Spetta poi al lettore approfondire debitamente i concetti di cui necessita. Innanzitutto ricordiamo che:

con Mm,n si intende l’insieme delle matrici con m righe ed n colonne
con
Mm,n(R) si intende l’insieme delle matrici a coefficienti Reali
con Mm,n(C) si intende l’insieme delle matrici a coefficienti complessi
con An si intende la colonna n-esima della matrice Mm,n
con Am si intende la riga m-esima della matrice Mm,n
con GLn si intende l’insieme delle matrici invertibli di ordine n
con In si intende la matrice identità (o se vogliamo identica o, ancora, unità)
con AT si intende la matrice trasposta
con AH si intende la matrice trasposta coniugata

Una matrice è una tabella rettangolare di numeri con “m” righe ed “n” colonne. Il numero “aij” è l’elemento posizionato alla riga “i” in corrispondenza della colonna “j”. Una matrice è un importante strumento matematico che concretizza la complessa teoria matematica ed è ampiamente utilizzato in diverse branche dell’ingegneria.

Una matrice quadrata è una matrice che ha tante righe quante colonne. Una matrice quadrata “n x n” è detta di ordine n. Una matrice quadrata può essere “semplificata” e trasformata in una matrice triangolare superiore grazie ai procedimenti previsti dall’eliminazione di Gauss.

Una matrice quadrata diagonale è una matrice che ha tutti gli elementi nulli eccetto quelli presenti sulla diagonale principale ovvero la diagonale che va dall’angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra.

Una matrice simmetica è una matrice quadrata A a coefficienti reali tale per cui la sua trasposta AT è uguale alla matrice iniziale, ovvero A = AT.

Una matrice antisimmetrica è una matrice quadrata A a coefficienti reali tale per cui: AT = -A.

Una matrice identica è una matrice che ha sulla diagonale princiapali tutti valori pari a 1 e sulle restanti posizioni tutti valori pari a 0.

Una matrice completa è una matrice che al suo interno comprende la matrice dei coefficienti e la matrice dei termini noti.

Una matrice triangolare superiore è caratterizzata dall’avere tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli; viceversa si definisce matrice triangolare inferiore.

Una matrice quadrata singolare ha almeno uno dei suoi pivot nullo, mentre una matrice quadrata non singolare ha tutti i pivot non nulli.

Una matrice a scala è una matrice “m x n” i cui pivot (posizionati a scala) sono tutti non nulli. Matrici qualunque possono essere semplificate tramite riduzione a scala, ovvero tramite un procedimento simile all’eliminazione di Gauss.

Una matrice trasposta è una matrice in cui vengono scambiate le righe con le colonne. La prima riga diventa la prima colonna, la seconda riga diventa la seconda colonna e così via. La matrice trasposta della matrice A si indica con AT.

La matrice coniugata di A è la matrice Ã appartenente all’insieme delle matrici a coefficienti complessi, ovvero a Mm,n(C), i cui elementi sono i “coniugati” degli elementi di A. Per sapere cosa sono gli elementi coniugati è necessario studiare i numeri complessi (potrebbe interessarti leggere gli articoli: I numeri complessiI numeri complessi parte seconda).

La matrice trasposta coniugata (o aggiunta) AH (appartenente all’insieme delle matrici a coefficienti complessi) di A è la matrice trasposta della coniugata di A. La matrice A viene detta hermitiana quando A = AH, mentre viene detta anti-hermitiana quando AH = -A.

Una matrice invertibile è una matrice A appartenente a Mm,n(K) per la quale esiste una matrice B appartenente a Mm,n(K) tale che A·B = B·A = In (dove In sta per matrice identica). La matrice B, inversa di A, è unica e si indica con A-1. L’insieme delle matrici invertibili di ordine n si rappresenta con GLn.

Una matrice di cambiamento di base (o matrice di cambiamento di coordinate) è una matrice di passaggio dalla base B alla base B’, tale matrice si indica con B. La matrice di cambiamento di base B contiene per colonne le coordinate dei vettori della nuova base B’ rispetto alla vecchia base B. La matrice di cambiamento di base B-1 è ovviamente la matrice di passaggio dalla base B’ alla base B (direzione inversa alla precedente), essa contiene per colonne le coordinate dei vettori della base B rispetto alla base B’.

Una matrice associata all’applicazione lineare T… – In preparazione

Le matrici quadrate simili A e A’ sono tali solo se esiste una matrice B invertibile tale per cui è valida la relazione: A’ = B-1AB.

La matrice minore (o minore complementare) è la matrice che si ottiene cancellando la riga i e la colonna j di una matrice quadrata durante il calcolo del determinante. La matrice minore si indica con Aij dove “i” e “j” indicano rispettivamente la riga e la colonna che sono state eliminate per il calcolo del determinante (es. A13 se è stata cancellata la riga 1 e la colonna 3).

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Metodi per calcolare il determinante di una matrice

Funzione Φ, funzione FB, applicazione LA

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Funzione Φ, funzione FB, applicazione LA

Innanzitutto va premesso quanto segue:

con A si intende il punto appartenente ad A1, oppure A2, o ancora A3,
con A1 si intende la retta euclidea,
con A2 si intende il piano euclideo,
con A3 si intende lo spazio euclideo,

con V02 si intende l’insieme dei vettori applicati nell’origine O dello spazio bidimensionale,
con V03 si intende l’insieme dei vettori applicati nell’origine O dello spazio tridimensionale,

con R si intende l’insieme dei numeri reali,
con R2 si intende l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali,
con R3 si intende l’insieme delle terne ordinate di numeri reali,

con Mm,n si intende l’insieme delle matrici con m righe ed n colonne
con An si intende la colonna n-esima della matrice
Mm,n
con Am si intende la riga m-esima della matrice Mm,n

La funzione Φ0: A2 → V02 è una funzione biunivoca (o bigettiva) che associa al punto A (appartenente ad A2) il vettore applicato in O che termina in A; possiamo pertanto scrivere Φ0(A) = OA. Si tratta di una funzione che trasforma un generico segmento in un vettore avente un’origine ed un termine ben preciso.

La funzione FB: V02 → R2 è anch’essa biunivoca e viene definita in seguito ad una Base (vedi l’articolo: Sistema di riferimento affine, Base e Span). Tale funzione associa ad ogni vettore una sola coppia di reali ovvero le sue coordinate rispetto alla Base; possiamo pertanto scrivere FB(OA) = |x1, x2|. I valori x1, x2 sono gli unici che verificano: OA = x1i + x2j dove “i” e “j” sono due vettori non proporzionali che costituiscono una Base di V02.

Un’applicazione LA: Rn → Rm è un’applicazione associata ad una matrice A (la nomenclatura “A”, in questo caso, esime da quella riportata nella premessa) appartenente ad Mm,n (R) e si scrive:

LA (x) = x1A1 + … + xnAn

Ed altro non è che una matrice A che moltiplica un vettore “x” le cui coordinate sono tante quante le colonne di A. L’applicazione LA si intende appartenente a Rm per ogni “x” appartenente a Rn. Inoltre va notato che i termini A1, A2, …, An, quando si parla di matrici, si riferiscono alle colonne delle matrici stesse.