Combinazione lineare, span, lineare dipendenza e indipendenza

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Concetti che ruotano attorno al vettore combinazione lineare

Se ci troviamo in uno spazio vettoriale V, la combinazione lineare di “n” vettori v₁, v₂, …, v_n (appartenenti allo spazio vettoriale V) con coefficienti α₁, α₂, …, α_n (appartenenti al campo K – per la definizione di campo vedi l’articolo: Assiomi campo ed assiomi spazio vettoriale) è il vettore appartenente allo spazio vettoriale V:

α₁v₁ + α₂v₂ + … + α_nv_n

Lo Span è l’insieme di tutte le possibili combinazioni lineari generate da v₁, v₂, …, v_n. Lo Span è sempre un sottospazio vettoriale di V. Nell’articolo “Sistema di riferimento affine, Base e Span”, abbiamo definito lo Span come il piano generato dai vettori che costituiscono la Base di V₀².

Sono linearmente dipendenti i vettori v₁, v₂, …, v_n (appartenenti allo spazio vettoriale V) quando la combinazione lineare è:

α₁v₁ + α₂v₂ + … + α_nv_n = 0

con i coefficienti α₁, α₂, …, α_n (appartenenti al campo K) non tutti nulli (ovvero dove almeno un elemento non è nullo).

Sono linearmente indipendenti i vettori v₁, v₂, …, v_n (appartenenti allo spazio vettoriale V) quando la combinazione lineare è:

 α₁v₁ + α₂v₂ + … + α_nv_n = 0

con i coefficienti α₁, α₂, …, α_n (appartenenti al campo K) tutti nulli.