Endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo

Come abbiamo detto, un’applicazione lineare è una funzione additiva ed omogenea tra due spazi vettoriali V e W,  T: V → W. Per meglio capire i concetti che verranno esposti di seguito vedi anche gli articoli linkati di seguito e ricorda inoltre il Th. della dimensione che mette in relazione “dimensione, nucleo Ker, immagine e rango”, ovvero: dimV = dim KerT + dim ImT.

Funzione (applicazione), iniettività, suriettività, applicazione lineare
Funzione Φ – Funzione FB – Applicazione LA
Dimensione – Nucleo Ker – Immagine – Rango
Composizione di applicazioni lineari – Applicazione lineare invertibile

Se lo spazio vettoriale V è uguale allo spazio vettoriale W (V=W) si parla di endomorfismo, ovvero una rappresentazione di una struttura in sé stessa (conservando le operazioni). Ne sono un esempio:

1. La funzione identità che ad ogni elemento del dominio associa sé stesso.

 

2. L’applicazione nulla 0(v) = 0 per ogni elemento v appartenente allo spazio vettoriale V.

 

3. L’applicazione LA associata alla matrice A appartenente ad Mm,n (K)  che va da Kn a Km.

 

4. L’applicazione FB: V → Kn che manda ogni vettore v dello spazio vettoriale V nella n-upla delle sue coordinate rispetto alla Base (l’applicazione FB infatti è associata ad una Base di V). La lettera “n” si riferisce alla dimensione di V.

5. La trasposizione T: Mm,n (K) → Mn,m (K) la quale associa ad una matrice A la sua trasposta AT.

Nella teoria degli insiemi con il termine monomorfismo si indica una funzione iniettiva. Pertanto se f(x)=f(y) allora x=y. Se la dimensione dell’immagine di T (ovvero il rango di T) è uguale alla dimensione di V, allora l’applicazione lineare T è iniettiva.

Nella teoria degli insiemi con il termine epimorfismo si indica una funzione suriettiva. Se la dimensione dell’immagine di T (ovvero il rango di T) è uguale alla dimensione di W, allora l’applicazione lineare T è suriettiva. Se l’epimorfismo è anche iniettivo siamo davanti ad un isomorfismo e cioè davanti ad una corrispondenza biunivoca.

Se esiste un’applicazione lineare invertibile T: V → W allora esiste un isomorfismo tra V e W, quindi V e W sono isomorfi (V≈W). Si tratta quindi di una corrispondenza biunivoca tra due strutture dello stesso tipo.

Funzione (applicazione), iniettività, suriettività, applicazione lineare

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Funzione (applicazione), iniettività, suriettività, applicazione lineare

Una funzione (ma puoi chiamarla anche applicazione) è una relazione, una legge, una sorta di meccanismo che sussiste tra due insiemi A e B. Essa si indica con “f: A → B” ed associa ad ogni elemento di A un solo elemento di B. L’insieme A viene chiamato “dominio della funzione”, l’insieme B viene chiamato “codominio”. Vedi anche l’articolo: Dominio, codominio, invertibilità, monotonia. La funzione f mette in relazione l’elemento “a” dell’insieme “A” con l’elemento “b” dell’insieme “B”. L’elemento b è immagine di a tramite f. L’insieme degli elementi di B che sono immagine degli elementi di A, tramite f, è detto immagine di f.

Quando una funzione f è tale per cui ogni elemento del codominio arriva da un elemento del dominio (se disegnamo due insiemi, dominio e codominio, non ci sono quindi elementi liberi nel codominio che non sono in relazione con il dominio), questa si dice funzione suriettiva (o surgettiva). Attenzione perchè due elementi del dominio possono arrivare sullo stesso elemento del codominio ma non vice-versa altrimenti non siamo davanti ad una funzione.

Quando una funzione f è tale per cui a diversi elementi del dominio vengono associati diversi elementi del codominio, questa si dice iniettiva (se disegnamo due insiemi, dominio e codominio, non possono esserci più elementi del dominio che raggiungono il medesimo elemento del codominio; possono però esserci elementi liberi nel codominio che non sono in relazione con il dominio).

Un’applicazione lineare T (fra due spazi vettoriali) è semplicemente una funzione “additiva” e “omogenea”. Con il termine “additiva” si indica una funzione per la quale T(v1+v2) = T(v1)+T(v2) per ogni elemento v dello spazio vettoriale V. Il termine “omogenea”, invece, indica che la funzione T(λv) = λT(v) per ogni numero reale λ appartenente al campo K e per ogni elemento v appartenente allo spazio vettoriale V.