Endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo

Come abbiamo detto, un’applicazione lineare è una funzione additiva ed omogenea tra due spazi vettoriali V e W,  T: V → W. Per meglio capire i concetti che verranno esposti di seguito vedi anche gli articoli linkati di seguito e ricorda inoltre il Th. della dimensione che mette in relazione “dimensione, nucleo Ker, immagine e rango”, ovvero: dimV = dim KerT + dim ImT.

Funzione (applicazione), iniettività, suriettività, applicazione lineare
Funzione Φ – Funzione FB – Applicazione LA
Dimensione – Nucleo Ker – Immagine – Rango
Composizione di applicazioni lineari – Applicazione lineare invertibile

Se lo spazio vettoriale V è uguale allo spazio vettoriale W (V=W) si parla di endomorfismo, ovvero una rappresentazione di una struttura in sé stessa (conservando le operazioni). Ne sono un esempio:

1. La funzione identità che ad ogni elemento del dominio associa sé stesso.

 

2. L’applicazione nulla 0(v) = 0 per ogni elemento v appartenente allo spazio vettoriale V.

 

3. L’applicazione LA associata alla matrice A appartenente ad Mm,n (K)  che va da Kn a Km.

 

4. L’applicazione FB: V → Kn che manda ogni vettore v dello spazio vettoriale V nella n-upla delle sue coordinate rispetto alla Base (l’applicazione FB infatti è associata ad una Base di V). La lettera “n” si riferisce alla dimensione di V.

5. La trasposizione T: Mm,n (K) → Mn,m (K) la quale associa ad una matrice A la sua trasposta AT.

Nella teoria degli insiemi con il termine monomorfismo si indica una funzione iniettiva. Pertanto se f(x)=f(y) allora x=y. Se la dimensione dell’immagine di T (ovvero il rango di T) è uguale alla dimensione di V, allora l’applicazione lineare T è iniettiva.

Nella teoria degli insiemi con il termine epimorfismo si indica una funzione suriettiva. Se la dimensione dell’immagine di T (ovvero il rango di T) è uguale alla dimensione di W, allora l’applicazione lineare T è suriettiva. Se l’epimorfismo è anche iniettivo siamo davanti ad un isomorfismo e cioè davanti ad una corrispondenza biunivoca.

Se esiste un’applicazione lineare invertibile T: V → W allora esiste un isomorfismo tra V e W, quindi V e W sono isomorfi (V≈W). Si tratta quindi di una corrispondenza biunivoca tra due strutture dello stesso tipo.