Tag: campo matematico

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Campo vettoriale conservativo

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Definizione di campo vettoriale conservativo

Il campo vettoriale conservativo è un campo le cui coordinate sono costituite dal gradiente di un potenziale.

coordinate campo vettoriale conservativo

In altre parole, se un campo vettoriale è conservativo, esiste una funzione potenziale il cui gradiente è uguale al vettore che descrive il campo: v = ∇ψ dove “v” è il campo vettoriale e “∇ψ” è il gradiente della funzione potenziale “ψ“. Il campo gravitazionale è un esempio di campo vettoriale conservativo.

Se F=(F1, F2, F3) è un campo vettoriale (o funzione vettoriale) nello spazio tridimensionale, la cui forma differenziale è esatta, allora tale campo vettoriale si definisce anche conservativo.

La forma differenziale della suddetta funzione è la seguente: F1 dx + F2 dx + F3 dx.

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Campo vettoriale

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Definizione di campo vettoriale

Un campo vettoriale su uno spazio euclideo è un’applicazione (su un dominio connesso) che associa ad ogni punto di una regione di uno spazio euclideo un vettore dello spazio stesso.

Più in generale un campo vettoriale su una curva oppure su una superficie è una funzione che associa ad ogni punto della curva oppure della superficie, un vettore dello spazio tangente in quel punto la curva oppure la superficie.

Semplificando. Se in una regione dello spazio è definita una grandezza vettoriale che viene rappresentata in ogni punto di tale regione da un opportuno vettore, allora l’insieme dei vettori associati ai punti della regione costituiscono un campo vettoriale.

Un campo vettoriale sul piano si può rappresentare graficamente come una distribuzione di vettori bidimensionali in modo che il vettore immagine del punto x abbia l’origine in x stesso. In modo analogo si possono visualizzare campi vettoriali su superfici o nello spazio tridimensionale.

Un esempio di campo vettoriale nel mondo reale lo si ha considerando la velocità associata alle particelle di fluido che scorrono all’interno di una condotta o di un fiume o ancora in una corrente d’aria.

 campo vettoriale

Abbiamo elaborato questa immagine tridimensionale per facilitare la comprensione del concetto di campo vettoriale
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Campo matematico

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Introduzione ai campi matematici studiati in Analisi Matematica II

Quando sentiamo dire le espressioni verbali “il campo della moda”, “nel campo della ricerca”, “nel campo della meccanica”, e così via… siamo già pronti a comprendere che per campo intendiamo un insieme di cose attinenti tutte al medesimo argomento o comunque tutte in relazione con esso. Ebbene nella matematica il concetto è esattamente lo stesso. Un campo è una sorta di “zona”nella quale sono valide determinate operazioni matematiche e determinate proprietà di tali operazioni.

Più nello specifico un campo è un insieme di entità soggette a due operazioni binarie (addizione e moltiplicazione) tali che: l’insieme è un “gruppo commutativo” rispetto all’addizione; l’insieme privato dello zero è un gruppo commutativo rispetto all’addizione; la moltiplicazione è distributiva rispetto all’addizione.

Secondo tale definizione gli insieme dei numeri razionali e gli insiemi dei numeri reali sono dei campi, al contrario l’insieme dei numeri naturali non lo è (vedi le tipologie di numeri qui).

Nei prossimi articoli di questa rubrica vedremo in sintesi le principali particolarità dei campi vettoriali, dei campi conservativi e dei campi irrotazionali.