Rubrica: Officina della Matematica
Titolo o argomento: Funzione (applicazione), iniettività, suriettività, applicazione lineare
Una funzione (ma puoi chiamarla anche applicazione) è una relazione, una legge, una sorta di meccanismo che sussiste tra due insiemi A e B. Essa si indica con “f: A → B” ed associa ad ogni elemento di A un solo elemento di B. L’insieme A viene chiamato “dominio della funzione”, l’insieme B viene chiamato “codominio”. Vedi anche l’articolo: Dominio, codominio, invertibilità, monotonia. La funzione f mette in relazione l’elemento “a” dell’insieme “A” con l’elemento “b” dell’insieme “B”. L’elemento b è immagine di a tramite f. L’insieme degli elementi di B che sono immagine degli elementi di A, tramite f, è detto immagine di f.
Quando una funzione f è tale per cui ogni elemento del codominio arriva da un elemento del dominio (se disegnamo due insiemi, dominio e codominio, non ci sono quindi elementi liberi nel codominio che non sono in relazione con il dominio), questa si dice funzione suriettiva (o surgettiva). Attenzione perchè due elementi del dominio possono arrivare sullo stesso elemento del codominio ma non vice-versa altrimenti non siamo davanti ad una funzione.
Quando una funzione f è tale per cui a diversi elementi del dominio vengono associati diversi elementi del codominio, questa si dice iniettiva (se disegnamo due insiemi, dominio e codominio, non possono esserci più elementi del dominio che raggiungono il medesimo elemento del codominio; possono però esserci elementi liberi nel codominio che non sono in relazione con il dominio).
Un’applicazione lineare T (fra due spazi vettoriali) è semplicemente una funzione “additiva” e “omogenea”. Con il termine “additiva” si indica una funzione per la quale T(v1+v2) = T(v1)+T(v2) per ogni elemento v dello spazio vettoriale V. Il termine “omogenea”, invece, indica che la funzione T(λv) = λT(v) per ogni numero reale λ appartenente al campo K e per ogni elemento v appartenente allo spazio vettoriale V.