Rubrica: Officina della matematica
Titolo o argomento: Numeri complessi
A cosa servono? Perchè me li fanno studiare? Semplice, ma non guasterebbe dirlo anche a lezione: i numeri complessi sono il modo migliore per rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche nonchè grande uso ne viene fatto nella meccanica quantistica. Non sono un mucchio di numeri inutili messi li per farti tribolare. Se sei un meccanico hai bisogno dei tuoi attrezzi per smontare una vettura, se lavori nel campo della matematica anche. In questo caso l’attrezzo è il numero complesso. Se abbiamo un’equazione di secondo grado del tipo:
4x²+3x-1=0 allora avremo soluzioni x1=1/4 e x2=-1
Se invece avessimo un’equazione di secondo grado del tipo:
z2+1=0
applicando la solita formula per le equazioni di 2° grado (-b±√(b2-4ac))/2a arriveremmo al punto in cui qualcosa non “quadra”, ovvero arriveremmo a: (0±√(-4ac))/2a. Il valore sotto la radice quadrata è negativo! Per semplificare possiamo risolvere l’equazione con la formula ridotta per le equa di 2° grado: (-b/2±√(b/2)2-ac)/a risolvendo in questo modo l’equazione z2+1=0 risulta (0±√-1)/1 ovvero z=±√-1.
Questo non è ammesso nel campo dei numeri Reali, pertanto si estende R introducendo il campo C dei numeri complessi. Tali numeri non sono altro che l’ambito dove possiamo operare in situazioni “strane” come in quella che si verifica con valori negativi sotto la radice.
z=±√-1 non è altro che il numero complesso i
i è definito come l’unità immaginaria: i=√-1,
per definizione: i2=-1 e -i2=-1 mentre nel caso: -(i)2=+1
La forma algebrica con cui si rappresenta l’insieme dei numeri complessi è: C = (z=x+iy tale che x,y appartengono a R) z=numero complesso; x= parte reale; y=coefficiente della parte immaginaria i. Le operazioni sui numeri complessi si eseguono come sui numeri reali; ecco un esempio: (x+iy)+(x’+iy’) = (x+x’) + i(y+y’); altro esempio (x+iy)·(x’+iy’) = xx’+ixy’+ix’y+i2yy’
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Numeri complessi – parte seconda
