Rubrica: Officina della Matematica
Titolo o argomento: Ipotesi di Lipschitzianità
Definizione. Proprietà secondo la quale la distanza tra i valori di una funzione è limitata da un multiplo costante della distanza tra gli argomenti. La costante L è maggiore di zero.
A cosa serve? La lipschitzianità è importante per stabilire l’unicità di soluzioni nei problemi di Cauchy relativi ad equazioni differenziali ordinarie.
Funzione di una variabile
In sostanza è una funzione di variabile reale che ha una crescita limitata ovvero il rapporto tra “variazione di ordinata y=f(x)” e “variazione di ascissa x” non può mai superare un valore fissato, detto costante di Lipschitz “L”.
|f(x1)-f(x2)| ≤ L |x1-x2|
Funzione di due variabili
In sostanza è una funzione di due variabili reali che ha una crescita limitata ovvero il rapporto tra “variazione di quota z=f(x,y)” e “variazione di ascissa x” oppure tra “variazione di quota z=f(x,y)” e “variazione di ordinata y” (Lipschitzianità rispetto a y – esempio sotto) non può mai superare un valore fissato, detto costante di Lipschitz “L”.
|f(x,y1) – f(x,y2)| ≤ L |y1 – y2|