Teorema della selezione

Rubrica: Una frase per teorema

Titolo o argomento: Teorema della selezione

Consideriamo uno spazio vettoriale V e un sistema di vettori (v1, v2, …, vk) contenuto in V. Possiamo affermare che esiste un procedimento canonico di selezione che permette di ottenere una “sottolista L” che ha le seguenti proprietà:

1. I vettori della “sottolista L” sono linearmente indipendenti.
Vedi l’articolo: Combinazione lineare, span, lineare dipendenza – indipendenza

2. Lo spazio generato dai vettori della “sottolista L” è uguale allo spazio generato dai vettori di V.
Vedi gli articoli: Sistema di riferimento affine, base e span | Sistema di generatori, spazio e sottospazio vettoriale

Dimostrazione

Abbiamo ad esempio i vettori (v1, v2, v3, …, vk) e non sappiamo quali di questi resterà nella sottolista. Lo spazio che generano è L(v1, v2, v3, …, vk) = S contenuto in V.

Se v1=0 allora il vettore viene escluso. Se v1≠0 allora lo chiamiamo vi1 e lo inseriamo come primo elemento della sottolista.

Se v2 appartiene già alla lista L(v1) allora viene escluso. Questo significa che il vettore v2 è linearmente dipendente rispetto a v1. Se v2 non appartiene già alla lista L(v1) entra a farne parte. Questo significa che il vettore v2 è linearmente indipendente rispetto a v1.

Se v3 appartiene già alla lista L(v1, v2) allora viene escluso. Questo significa che vi è un rapporto di lineare dipendenza tra v3 e gli altri due vettori. Viceversa se v3 non appartiene alla lista L(v1, v2) allora viene aggiunto in quanto i 3 vettori sono linearmente dipendenti e generano spazio nuovo.

E così via…

I vettori in più che ho cancellato non generano spazio in più, ma lo stesso spazio, ad ogni momento della selezione. Per convenzione la sottolista, ed i suoi elementi, verranno indicati come segue: L˜ = (vi1, vi2, vi3).

Esempio

Se ad esempio abbiamo 3 vettori λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 ed il vettore v3 ha le seguenti caratteristiche:

v3 = αv1 + βv2

v3 appartiene alla lista L(v1, v2)

ovvero il vettore v3 è linearmente dipendente rispetto alla lista L(v1, v2),

allora dalla combinazione lineare λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 otteniamo λ1v1 + λ2v2 + (λ3α)v1 + (λ3β)v2.

All’ultimo membro ho semplicemente moltiplicato λ3 per v3 = αv1 + βv2 ed ho messo in evidenza rispettivamente v1 e v2 per arrivare a:

1)v1 + (λ2)v2

da cui deduco che non ho generato nuovo spazio tramite il vettore v3.