Tecnologia computer aided: L’analisi

Rubrica: Tecnologia computer aided

Titolo o argomento: Introduzione ai software per l’analisi assistita dal calcolatore
Segue dall’articolo introduttivo:
Tecnologia computer aided: La progettazione
Premessa

La trattazione che segue non è intuitiva e di facile comprensione, essa si rivolge a chi si accinge a studiare in ambito universitario i metodi di analisi numerica e a chi desidera conoscere quali altri metodi esistano oltre al noto FEM. Sarà il lettore che dovrà poi svolgere un ampio lavoro di approfondimento sui temi che qui sono appena accennati. Sono ben accetti suggerimenti da parte dei lettori per migliorare, completare, semplificare questa breve presentazione.

Intro

I metodi di modellazione numerica sono strumenti in grado di rappresentare, con un’adeguata precisione, la geometria di un sistema tenendo conto del suo comporamento tenso-deformativo ed effettuando i debiti calcoli in tempi ragionevoli. La simulazione numerica riduce il numero di costosi progetti, di prototipi e di stampi, migliora la progettazione dell’attrezzatura e ne allunga la durata, riduce gli scarti di materiale, riduce il tempo di sviluppo del prodotto e migliora la qualità del prodotto stesso. E’ possibile classificare i metodi numerici in due grandi gruppi: i metodi al continuo ed i metodi discontinui.

Metodi al continuo (FDM, FEM, FVM, BEM)

Schematizzano il sistema come un dominio discretizzato (vedi la relativa definizione poco più in basso) in “unità elementari” di forma geometricamente semplice (triangoli, quadrilateri, tetraedri, ecc.) le quali, pur deformandosi, rimangano costantemente in contatto reciproco attraverso le relative superfici di separazione. Il mezzo così composto conserva in tutti i suoi elementi le proprietà osservate nell’insieme, per cui lo studio può essere condotto a livello fenomenologico anziché a livello “atomico”. <Jing 2003>

Metodi discontinui (DEM)

Rappresentano il sistema come un insieme di corpi discreti e distinti che interagiscono tra loro solo in caso di reciproco contatto. Il comportamento meccanico del mezzo è descritto tracciando l’andamento delle forze che si sviluppano nei punti di contatto ed i movimenti dei singoli elementi che lo compongono. Infatti, mentre nei metodi al continuo i contatti fra “unità elementari” rimangono invariati indipendentemente dalla risposta del modello, in quelli discontinui vengono aggiornati ad ogni iterazione in base alla posizione ed al movimento relativo dei singoli elementi. Grazie a questa peculiarità è possibile indagare l’evoluzione della risposta del sistema in condizioni di equilibrio stabile, limite ed a rottura, oltre la quale, a differenza dei metodi al continuo, è ammessa la separazione del dominio in blocchi che continuano a risentire delle sollecitazioni agenti. <Jing 2003>

Che cosa significa discretizzare un dominio?

Per semplificare il concetto diamo prima la definizione di “discreto” in campo matematico: trattasi di una composizione di elementi distinti, separati tra loro; un insieme discreto di punti è quello costituito da un numero finito o da un’infinità numerabile di punti. La discretizzazione rappresenta il processo di trasformazione di modelli matematici ed equazioni continue nelle controparti discrete. La discretizzazione delle geometrie di un oggetto 3D da analizzare consiste nella creazione delle cosidette “mesh”, si tratta di dividere una geometria in elementi contigui più semplici (ad esempio triangoli o quadrilateri) che approssimano la geometria stessa.

Il modello matematico di un qualsiasi problema ingegneristico comporta il calcolo, all’interno di un determinato dominio, dell’andamento di una funzione di interesse (generalmente a più variabili) che soddisfi un’equazione differenziale alle derivate parziali (PDE). I metodi di analisi, come ad esempio il FEM, permettono di determinare soluzioni approssimate alle equazioni differenziali in un dominio qualsiasi calcolando una funzione discreta (cioè per la quale vengono forniti i valori solamente in determinati punti) piuttosto che continua. Tali punti sono chiamati “nodi della griglia di calcolo”. La soluzione discreta dell’equazione differenziale è calcolata in “volumi elementari” definiti da gruppi di nodi adiacenti che costituiscono gli “elementi finiti”. La contemporanea soluzione in tutti i volumi elementari in cui si suddivide il dominio (imponendo opportune condizioni di congruenza sugli elementi adiacenti) costituisce il risultato del modello numerico.

Risulta pertanto importante discretizzare adeguatamente il dominio di integrazione al fine di ottenere una soluzione il più possibile vicina alle esigenze del progettista. Ad esempio, in un problema strutturale sarà necessario addensare i nodi della griglia, e quindi raffinare gli elementi finiti della mesh di calcolo, soprattutto in prossimità delle zone in cui si prevede una maggiore sollecitazione, così come in un problema di flusso risulterà importante aumentare la quantità di nodi soprattutto laddove si prevede una rapida variazione del gradiente idraulico, cioè in prossimità di pozzi o di sorgenti. Esempi di metodi di discretizzazione sono ad esempio il metodo ai volumi finiti (FVM), il metodo agli elementi finiti (FEM), metodo alle differenze finite (FDM), ecc..

Analisi

FEM – FEA

L’acronimo FEM sta ad indicare “Finite Element Method” ovvero “Metodo degli Elementi Finiti”. Si tratta di una tecnica numerica che ha lo scopo di cercare soluzioni approssimate di problemi meccanici complessi (ad esempio problemi inerenti la deformazione del telaio di un’automobile) attraverso la risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali le quali vengono ridotte ad un sistema di semplici equazioni algebriche. Le equazioni differenziali in questione sono generalmente caratterizzate da un dominio di forma complessa, o variabile; le soluzioni di tali equazioni differenziali non sono omogenee sul dominio o addirittura mancano di regolarità, esse si conseguono imponendo le condizioni iniziali e quelle al contorno. Il metodo FEM detiene una importante rilevanza nell’ambiente delle tecniche numeriche tra le quali troviamo anche il metodo delle differenze finite, il metodo dei volumi finiti, il metodo degli elementi al contorno, il metodo delle celle, il metodo spettrale, ecc.. L’acronimo FEA (Finite Element Analysis) si riferisce invece all’Analisi agli Elementi Finiti.

FDM

FDM sta per “Finite Difference Method” e cioè “Metodo delle differenze finite”, tale metodo si basa sull’approssimazione diretta delle equazioni differenziali parziali (Partial Differential Equations – PDEs) ottenuta sostituendo alle derivate parziali delle differenze definite sul dominio del problema (Jing, 2003). Si tratta quindi di approssimare un continuo in una serie di punti discreti. La soluzione del sistema derivante si consegue imponendo le condizioni iniziali e quelle al contorno.

FVM

FVM sta per “Finite Volume Method” ovvero “Metodo dei volumi finiti”, tale metodo si basa sull’approssimazione delle equazioni differenziali parziali in forma integrale. Si tratta di un metodo a cavallo tra il Finite Difference Method (FDM), rispetto al quale sopperisce alla mancanza di flessibilità in particolar modo circa la modellazione di griglie irregolari, condizioni al contorno complesse e l’analisi di materiali eterogenei (disomogenei), ed il Finite Element Method (FEM) con il quale presenta numerosi punti in comune. D’altra parte però il metodo dei volumi finiti pecca per una marcata difficoltà nel simulare sistemi discontinui che non consentono la continuità tra punti vicini della mesh.

BEM

BEM sta per “Boundary Element Method” ovvero “Metodo degli Elementi di Contorno”. Tale nome deriva dal fatto che questo metodo di analisi richiede la discretizzazione del dominio della soluzione solo ai bordi, ciò riduce le dimensioni del problema e semplifica i dati richiesti in ingresso. Esso si basa sulla risoluzione di un’equazione integrale definita sul contorno invece che sulla risoluzione diretta delle equazioni differenziali parziali come invece avviene nel metodo FDM e nel metodo FEM. A parità di livello di discretizzazione tale metodo comporta una maggiore precisione rispetto a questi ultimi (Jing, 2003).

DEM

DEM sta per “Discrete Element Method” vale a dire “Metodo degli elementi discreti”, si tratta di un metodo discontinuo che schematizza il sistema come un assemblaggio di blocchi connessi tra loro attraverso i relativi punti di contatto. Grandi spostamenti o rotazioni, fratture o completo distacco tra i singoli elementi sono ammessi nel DEM ed impossibili nei metodi FEM, FDM, FVM e BEM. Le condizioni di compatibilità sugli spostamenti rappresentano un’importante differenza tra i metodi al continuo e quelli discreti: nei primi la compatibilità deve essere imposta tra elementi interni ed è automatica nel FDM e nel BEM ma non nel FEM; nei secondi non è richiesta poiché è sostituita dai modelli costitutivi di contatto tra unità adiacenti.

Altri metodi di analisi

Metodo delle celle (CM)

I metodi numerici partono dalle equazioni di campo scritte in forma differenziale e ottenute dall’analisi di porzioni infinitesime dei sistemi fisici. La necessità di focalizzare porzioni di spazio molto piccole (tendenti a zero) risiede nel tentativo di ottenere una soluzione esatta con un ottimo grado di approssimazione. Tali metodi costituiscono un valido mezzo di studio per casi ideali dato che si manifestano importanti limiti qualora le geometrie da analizzare non siano regolari (ad es. può succedere che le funzioni delle grandezze fisiche non sono derivabili rispetto alle coordinate di riferimento) e presentino quindi discontinuità geometriche oppure discontinuità nelle proprietà dei materiali o, ancora, particolari condizioni al contorno. Inoltre è opportuno notare che le equazioni ottenute, con i metodi numerici che volgarmente vogliamo chiamare tradizionali, descrivono in realtà il comportamento dei sistemi analizzati in relazione alle ipotesi poste sin dall’inizio e non alla reale situazione, ciò risulta tollerabile solo per geometrie regolari e con debite condizioni al contorno.
Quando invece si vanno ad analizzare sistemi reali le equazioni differenziali devono essere discretizzate e fatte quindi risalire a dimensioni le quali, nonostante siano molto piccole, sono comunque finite e risolvibili con l’utilizzo del calcolatore elettronico (computer aided). A tal fine sono state elaborate le metodologie introdotte nella sezione “Analisi” (FEM, FDM, FVM, BEM, DEM). L’implementazione di queste procedure, però, è in genere complessa ed ha il difetto di perdere il legame con il problema fisico in esame.
Il metodo delle celle si basa su una diversa astuzia, anziché affrontare le equazioni differenziali (fondate sull’astrazione teorica del punto per descrivere una realtà fisica discreta) esso effettua una formulazione discreta diretta delle leggi fisiche. Fissando l’attenzione direttamente su porzioni di spazio finite, le leggi fisiche del fenomeno in esame sono scritte cioè direttamente in termini discreti, partendo dalle leggi sperimentali. Ciò permette di costruire direttamente in forma algebrica le equazioni del campo fisico studiato conservando l’aderenza alla realtà fisica del problema preso in esame.

Meshless Method (MM)

I metodi accennati nella sezione “Analisi” di questo articolo sono piuttosto diffusi (in particolar modo il FEM), tuttavia essi presentano dei limiti che hanno spinto la tecnologia computer aided verso nuove soluzioni che fossero più flessibili, comportassero un minore sforzo di calcolo per i computer (la discretizzazione delle geometrie in elementi, triangoli o quadrilateri, con la creazione della mesh è un processo molto impegnativo per il calcolatore che richiede, tra l’altro, tempi non sempre accettabili) e raggiungessero un livello di precisione di calcolo analogo se non superiore. Al fine di superare tali limiti si è sviluppato un metodo basato su nodi anziché su approssimazioni della geometria, evitando quindi la fase di generazione della mesh (da cui il nome “Meshless” o “Meshfree”). Metodi quali il “Finite Point Method” (FPM) o il “Meshless Finite Element Method” (MFEM) o, ancora, “L’Extended Finite Element Method” (XFEM), condividono la capacità di discretizzare il dominio in esame solamente a livello di punti, o nodi, i quali sono posizionati all’interno della geometria e sul suo contorno. Nonostante l’apparente rivoluzione, i metodi meshless non hanno ottenuto un vasto consenso per problematiche di carattere matematico che non verranno trattate in questa sede vista la complessità dei temi da affrontare.

Fonti:
Aziende del settore
Dispense e appunti universitari – Università Politecnica delle Marche

Prof. Giuseppe Gambolati – Università degli Studi di Padova
Tesi di Matteo Lanciotti – Università degli Studi di Bologna
Ing. Martino Pani – Università degli Studi di Trieste
Wikipedia

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Esempio di oggetto da analizzare riprodotto mediante CAD 3D - Testata motore Approssimazione dell'oggetto mediante mesh - Testata motore Analisi FEM dell'oggetto riprodotto mediante CAD 3D ed approssimato mediante mesh

Riproduzione tridimensionale di una testata di un motore 4 tempi; accanto la geometria della testata
approssimata mediante mesh; infine vista dell’analisi FEM effettuata sull’oggetto.
Image’s copyright: ralph-dte.eu