Metodi per calcolare il determinante di una matrice

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Metodi e note per il calcolo del determinante
Matrici quadrate
Che cos’è il determinante?

La definizione più banale: Il determinante è un’operazione che associa un numero a tutte le matrici quadrate. La definizione con più connessioni: Il determinante è una funzione che ci indica esattamente quando n vettori di Rⁿ sono linearmente indipendenti, infatti se due righe (o colonne) di una matrice quadrata sono proporzionali (e quindi linearmente dipendenti) il determinante vale zero. Ciò è strettamente legato al concetto di rango di una matrice (ovvero il numero dei vettori linearmente indipendenti) ed al fatto di cercare la dimensione della sottomatrice più grande con determinante diverso da zero in modo da stabilire la dimensione dell’immagine di un’applicazione lineare. Il determinante è omogeneo e additivo in ogni riga, da ciò si deduce che il determinante è lineare.

Prima di effettuare conti inutili

Se una riga (o colonna) di una matrice contiene tutti zeri, allora il determinante vale zero.
Se due righe (o colonne) di una matrice quadrata sono uguali allora il determinante vale zero.
Se due righe (o colonne) di una matrice quadrata sono proporzionali allora il determinante vale zero.
Se la matrice è diagonale il determinante si calcola moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale.
Se la matrice è triangolare il determinante si calcola moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale.
Il determinante della matrice identità vale 1.

Altre proprietà importanti
Se si scambiano due righe il determinante cambia di segno.
Se ad una riga sommo un’altra riga moltiplicata per uno scalare ≠ 0 il determinante non cambia.
Se ad una colonna sommo un’altra colonna moltiplicata per uno scalare ≠ 0 il determinante non cambia.
Se si moltiplicano gli elementi di una riga per uno scalare k anche il determinante risulta moltiplicato per k.
Se una matrice viene trasposta il determinante rimane il medesimo.
Date due matrici quadrate dello stesso ordine, la matrice prodotto ha per determinante il prodotto dei determinanti delle singole matrici.
Determinante di matrici del primo, secondo e terzo ordine

Premesso che il determinante di una matrice A del primo ordine 1 x 1 è uguale al numero stesso che compare nella matrice, passiamo subito al metodo relativo alle matrici del secondo ordine 2 x 2 nelle quali il determinante è uguale alla differenza fra il prodotto dei due elementi della diagonale principale e il prodotto fra i due elementi della diagonale secondaria.

Il determinante di una matrice A del terzo ordine 3 x 3 è uguale alla somma dei prodotti di una riga qualunque per i rispettivi complementi algebrici. Cosa sono i complementi algebrici? Come si calcolano? Vedi il paragrafo successivo.

Sopra, la formula di risoluzione delle matrici 3 x3, dove a₁₁, a₁₂, a₁₃ sono ovviamente gli elementi della prima riga della matrice 3 x 3, mentre A₁₁, A₁₂, A₁₃ sono i complementi algebrici dei rispettivi elementi. Nota che, se anche nella formula appena citata compaiono tutti segni positivi, in realtà il complemento algebrico di un elemento, la cui somma degli indici è pari, deve essere preceduto dal segno + (es. A₁₁); mentre il complemento algebrico di un elemento, la cui somma degli indici è dispari, deve essere preceduto dal segno – (es. A₁₂). Ovviamente se vi è una riga che contiene uno o più zeri la si sceglie al fine di ridurre notevolmente i calcoli.

Complemento algebrico (o determinante della matrice minore)

Il complemento algebrico di un elemento “a_ij” di una matrice A di ordine 3 è il determinante della matrice di ordine 2 (detta matrice minore) ottenuta da A sopprimendo la riga “i” e la colonna “j” cui l’elemento appartiene. Il complemento algebrico deve essere preceduto dal segno + o dal segno – a seconda che l’elemento “a_ij” sia di classe pari (cioè la somma degli indici dà un numero pari) o classe dispari (cioè la somma degli indici dà un numero dispari).

Quindi il determinante di una matrice del  terzo ordine 3 x3 si definisce mediante determinanti del secondo ordine, estratti dalla matrice stessa, ovvero i complementi algebrici. Dalla matrice 3 x 3 si cancella una riga e una colonna e si calcola il determinante (come nel caso del secondo ordine) della matrice 2 x 2 dei termini restanti.

Metodo Sarrus per le matrici del terzo ordine

Il determinante di una matrice 3 x 3 (vedi ad esempio il caso precedente) può essere calcolato anche in un altro modo utilizzando la regola di Sarrus.

1. Per il calcolo del determinante si riscrivono, alla destra della matrice, le prime due colonne della matrice stessa.

2. Si moltiplicano poi i termini lungo la diagonale principale e lungo le due diagonali (solo quelle con tre termini) parallele ad essa, dopodichè si scrivono i prodotti ottenuti e si sommano tra loro.

3. Il procedimento viene ripetuto moltiplicando e poi sommando (come nel punto precedente) i termini lungo la diagonale secondaria e lungo le due diagonali (sono quelle con tre termini) parallele ad essa.

4. Il determinante sarà uguale alla differenza fra la prima e la seconda somma di prodotti.

Calcolo dei determinanti di matrici di ordine superiore al terzo

Calcolare il determinante di una matrice n x n consiste essenzialmente nell’applicazione ripetuta delle regolette sopra trattate; se abbiamo ad esempio una matrice 4 x 4 possiamo adoperare la formula che fa uso del complemento algebrico e, per semplificare le operazioni, risolvere le matrici minori 3 x 3 ottenute con la regola di Sarrus.

Calcolo del determinante mediante eliminazione di Gauss

Se S è una matrice triangolare superiore ottenuta dalla matrice A effettuando un’eliminazione di Gauss (o una riduzione a scala) con “σ scambi di righe”, allora il determinante della matrice A si ricava mediante la formula:

dove il numero (-1)^σ è uguale a “-1” se σ è dispari, ed è uguale a “+1” se σ è pari.

In sostanza il determinante in questo caso lo si ottiene moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale principale (ovvero i pivot p1, p2, …, pn, dato che si tratta di una matrice triangolare ottenuta mediante eliminazione di Gauss) e inserendo il segno corretto che tiene conto di quanti scambi di righe sono stati effettuati.

Sviluppo di Laplace

Il determinante di una matrice quadrata A è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici. Si tratta del metodo che, forse più semplicemente, abbiamo riportato in linea generale, pochi paragrafi più su, occupandoci delle matrici del terzo ordine. Lo sviluppo di Laplace può essere effettuato lungo la colonna j-esima così come lungo la riga i-esima.

Un esempio numerico è sempre gradito, osserviamo la seguente matrice 5 x 5:

Scegliamo di eseguire il calcolo lungo la terza colonna in quanto presenta tutti zeri ad eccezione dell’elemento “a₅₃” che invece vale 1. Andiamo pertanto ad eseguire i calcoli solo sull’elemento “a₅₃” ed otteniamo quindi:

Ora il gioco si ripete, si tratta infatti di un procedimento ricorsivo che si ripete tante più volte quanto maggiore è l’ordine della matrice. Trovandoci ora davanti ad una matrice 4 x 4 di cui si deve ricavare il determinante, si riapplica il medesimo procedimento, si sceglie ad esempio di eseguire i calcoli lungo la prima colonna dove, nuovamente, troviamo tutti zeri ad eccezione dell’elemento “a₂₁” che vale 1.

A questo punto possiamo scegliere se risolvere la matrice 3 x 3 utilizzando nuovamente lo sviluppo di Laplace, oppure adottando la regola di Sarrus. Scegliendo la seconda opzione si ricava il determinante di A che vale -27.

Matrici rettangolari
Caratteristica di una matrice m x n

Premesso che non è possibile (non è logico) calcolare il determinante di una matrice m x n (dato che ci si trova davanti ad un numero di equazioni differente dal numero di incognite) è però opportuno definire il concetto di caratteristica di una matrice m x n.

Se si considera una matrice 3 x 4 è possibile estrarre da essa delle sottomatrici 3 x 3 il cui determinante si chiamerà “minore di ordine 3”. E’ possibile anche estrarre delle matrici 2 x 2 e, in tal caso, il loro determinante si chiamerà “minore di ordine 2”. Quindi, generalizzando, il minore di ordine q di una matrice m x n sarà il determinante della sottomatrice quadrata estratta dalla matrice iniziale ed avente q righe e q colonne.

La caratteristica di una matrice non nulla sarà quindi il massimo ordine dei minori non nulli estraibili da essa.

Note

Matrice minore: la matrice che si ricava eliminando la “riga i” e la “colonna j” relative all’elemento “a_ij“.
Minore complementare: determinante della matrice minore.
Complemento algebrico (o cofattore): lo scalare ottenibile dal minore complementare di “a_ij” preso con il proprio segno o con il segno cambiato a seconda che la somma i+j sia rispettivamente pari o dispari.

Suggerimenti per la rapidità di calcolo

Nel caso di matrici con molti zeri, dette anche matrici “sparse”, risulta conveniente eseguire il calcolo del determinante tramite gli sviluppi di Laplace. Nel caso invece di matrici senza particolari caratteristiche può risultare di gran lunga meno laborioso il metodo che si basa sull’eliminazione di Gauss.

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Introduzione alle matrici