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Autovalori e autovettori: esempi utili

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Tre esercizi su autovalori e autovettori

Vediamo di seguito alcuni brevi esempi, più che altro schematici, di calcolo degli autovalori e autovettori. Ognuno dei seguenti esempi fa riferimento sempre al medesimo endomorfismo di cui si parla inizialmente.

Calcolo degli autovalori di un dato endomorfismo
Mi viene assegnato un dato endomorfismo:
Calcolo degli autovalori di un endomorfismo
Scrivo la matrice associata a tale endomorfismo:
Endomorfismo, calcolo degli autovalori
Risolvo il calcolo del polinomio caratteristico pT(λ) e trovo la matrice relativa,
Calcolo il determinante della matrice appena trovata:
Calcolo degli autovalori di un endomorfismo
Risolvo l’equazione che emerge dal calcolo del deterimante:
Autovalori di un endomorfismo

Le soluzioni trovate, ovvero le soluzioni del polinomio caratteristico, sono gli autovalori λ1=1, λ2=0, λ3=2. In questo caso si tratta di 3 autovalori che hanno tutti molteplicità algebrica m = 1.

Calcolo della molteplicità algebrica

Per calcolare la molteplicità algebrica di un determinato autovalore λ di un endomorfismo è sufficiente osservare quante volte il suddetto autovalore è radice del polinomio caratteristico.

Calcolo della molteplicità geometrica

Il calcolo della molteplicità geometrica richiede semplicemente di trovare il rango (ossia la dimensione dell’immagine e quindi il numero delle colonne linearmente indipendenti) della matrice (A-λIn).

Calcolo dell’autospazio relativo agli autovalori di un dato endomorfismo

Prendo la matrice (A-λIn) e al posto di λ sostituisco l’autovalore di cui desidero trovare l’autospazio ovvero l’insieme degli autovettori corrispondenti allo stesso autovalore. Nel precedente esempio gli autovalori ricavati tramite il polinomio caratteristico sono: λ1=1, λ2=0, λ3=2.

Se mi occupo dell’autovalore λ1=1  allora la matrice (A-λIn) diventa:

Calcolo dell'autospazio relativo ad un autovalore

Da cui ricavo il sistema lineare corrispondente:

y=0,
x=0,
z libera,
ovvero l’autospazio: Vλ1 = (0, 0, z)
Se mi occupo dell’autovalore λ2=0, allora la matrice (A-λIn) diventa:
Calcolo dell'autospazio relativo ad un autovalore
Da cui ricavo il sistema corrispondente:
x+y=0 (quindi x=-y),
x+y=0,
z=0,
ovvero l’autospazio: Vλ2 = (x, -x, 0)
Se mi occupo dell’autovalore λ3=2, allora la matrice (A-λIn) diventa:
Calcolo dell'autospazio relativo ad un autovalore
Da cui ricavo il sistema corrispondente:
-x+y=0 (quindi x=y),
x-y=0,
-z=0
ovvero l’autospazio: Vλ3 = (x, x, 0)
Calcolo di base e dimensione dell’autospazio

Prendendo in esame l’esempio precedente, considerando l’autospazio Vλ1 = (0, 0, z) trovo una base semplicemente sostituendo z = 1 ed ottenendo (0, 0, 1). La dimensione dell’autospazio è ovviamente 1. Nota che la dimensione degli altri autospazi relativi agli altri due autovalori è sempre pari a 1 in quanto gli autospazi devono avere dimensione pari alla molteplicità del relativo autovalore.

Calcolo degli autovettori di un dato endomorfismo

Per calcolare gli autovettori relativi rispettivamente agli autovalori λ1=1, λ2=0, λ3=2 dell’endomorfismo proposto, devo prendere la matrice (A-λIn) nella quale sostituisco di volta in volta λ1=1, λ2=0, λ3=2 e scrivo il sistema di equazioni corrispondenti, esattamente come abbiamo visto alla voce “Autospazio”, dopodiché sarà sufficiente sostituire opportuni valori (a nostra scelta) alle variabili per ottenere il nostro autovettore.

Ad esempio per λ2=0 abbiamo ricavato l’autospazio Vλ2 = (x, -x, 0) da cui ricaviamo, sostituendo 1 alla x, l’autovettore (1, -1, 0).

Cosa ricavo dalla matrice (A-λI)?

In sostanza, per fare ordine mentale, possiamo notare che attraverso la matrice (A-λI) possiamo ottenere molto.

Se calcolo il determinante della matrice (A-λI) ottengo un’equazione le cui radici sono gli autovalori.
Se nella matrice (A-λI) sostituisco un determinato autovalore λ, troverò il relativo autospazio tramite il sistema lineare corrispondente.
Se alla matrice (A-λI) sostituisco un determinato autovalore λ, posso ricavare il relativo autovettore scrivendo il sistema di equazioni corrispondenti.
Se della matrice (A-λI), alla quale avrò sostituito un determinato autovalore λ (trovato ovviamente mediante il polinomio caratteristico), calcolo il rango ottengo la molteplicità geometrica relativa all’autovalore che avevo precedentemente inserito nella matrice.

Diagonalizzazione della matrice di un endomorfismo

Una matrice diagonale è una matrice che ha tutti gli elementi nulli ad eccezione di quelli presenti sulla diagonale. Se abbiamo una matrice A (ovviamente quadrata) diagonalizzarla significa trovare una matrice B, invertibile, che, moltiplicata per la matrice A e per la sua inversa B-1, mi permette di ricavare la matrice A’ (simile) diagonale, ovvero B-1·A·B = A’. In pratica una matrice quadrata è diagonalizzabile se è “simile” ad una matrice diagonale.

La matrice B non è altro che la matrice di cambiamento di base dalla base B di A, alla base B’ di A’.
La matrice B ha per colonne n autovettori linearmente indipendenti.
La matrice diagonale A’ ha sulla diagonale principale gli autovalori, altrove tutti zeri.

Non tutte le matrici quadrate sono diagonalizzabili, ciò è possibile solo se per ogni autovalore λ la dimensione del relativo autospazio è uguale alla molteplicità dell’autovalore stesso, inoltre tutti gli autovalori devono necessariamente essere reali e distinti.

Premesso questo si cerca una matrice B che abbia sulle colonne n autovettori linearmente indipendenti. Questo passaggio, ovviamente, viene effettuato dopo aver risolto tutti i calcoli precedentemente esposti: calcolo degli autovalori tramite il polinomio caratteristico, calcolo degli autospazi (con basi e dimensioni) e calcolo degli autovettori. Nel caso dell’endomorfismo citato in questo articolo devo costruire la matrice B mediante tre autovettori linearmente indipendenti, relativi rispettivamente a λ1=1, λ2=0, λ3=2, da mettere sulle colonne. Una volta costruita la matrice B, ricavo la sua inversa B-1 e moltiplico B*A*B-1 che deve equivalere ad A’.

Link correlati
Autovalori e autovettori
Funzione (applicazione) – Iniettività – Suriettività – Applicazione lineare
Endomorfismo – Isomorfismo – Monomorfismo – Epimorfismo
Introduzione alle matrici
Metodi per calcolare il determinante di una matrice
Numeri complessi – parte prima
Numeri complessi – parte seconda

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Sistemi di accumulo dell’energia: Panoramica

Rubrica: Sistemi di accumulo dell’energia

Titolo o argomento: Introduzione ai sistemi di accumulo dell’energia

L’energia è una grandezza fisica fondamentale, sia sotto il punto di vista scientifico che della vita quotidiana, in quanto gode di importanti proprietà percettibili da chiunque. Essa può assumere forme diverse, può passare da un corpo all’altro, può trasformarsi da una forma all’altra, può essere immagazzinata, passando o trasformandosi può compiere azioni utili, passando o trasformandosi si conserva, non si può creare né distruggere, si può presentare sotto varie forme più o meno utili, infine renderla disponibile in forma utilizzabile o accumularla presenta costi diversi a seconda dei metodi adottati e delle tecnologie disponibili. Volendo classificare i sistemi di accumulo dell’energia, ad esempio da abbinare alla produzione domestica di energia da fonti rinnovabili (ma non solo…), possiamo suddividerli in funzione della forma che l’energia assume all’interno del dispositivo di accumulo stesso. Abbiamo così diversi metodi di accumulo tra cui quello elettrochimico, elettrostatico, elettromagnetico, idrostatico, aerostatico e cinetico.

Elettrochimico

L’accumulo elettrochimico consiste nella trasformazione di energia elettrica in forma potenziale chimica da contenere poi in accumulatori elettrochimici monolitici all’interno dei quali avvengono le trasformazioni di specie chimiche. Ovviamente l’energia che potrà essere restituita mediante i processi inversi sarà data dalla differenza tra l’energia inizialmente introdotta e le ovvie perdite che si verificano a seguito delle inefficienze del sistema. Un’interessante variante di questa tipologia di sistema d’accumulo è rappresentata dalla pila a combustibile la quale converte l’energia elettrica in energia potenziale chimica tramite elettrolizzatori dell’acqua. Questi ricavano idrogeno scindendolo dalla molecola dell’acqua e storandolo in apposite bombole (a pressione atmosferica o in forma compressa). L’energia accumulata, quando necessario, può  essere riconvertita in energia elettrica fruibile all’utente in seguito alla ricombinazione dell’idrogeno con l’ossigeno.

Vedi ad esempio:

Sistemi di accumulo elettrochimico dell’energia: Le batterie
Caratteristiche tecniche di una batteria
Rapidi cenni sulle batterie GEL – DRY – WET – AGM
Confronto caratteristiche batterie per kit bici elettriche, ma non solo…

Elettrostatico

L’accumulo elettrostatico si ottiene nei supercondensatori (o ultracapacitori, o ultracondensatori) all’interno dei quali l’energia si accumula in forma elettrostatica raggiungengo valori di centinaia di Farad.

Vedi ad esempio:

Sistemi di accumulo elettrostatico dell’energia: Gli Ultracapacitori o Supercondensatori

Elettromagnetico

L’accumulo elettromagnetico ha luogo nei Super Conducting Magnetic Energy Storage system (SMES) all’interno dei quali l’energia questa volta è accumulata in forma elettromagnetica. Si tratta di sistemi di accumulo attualmente vantaggiosi su grandi impianti per via dei loro costi elevati dovuti anche alla necessità di realizzare grandi impianti frigoriferi atti a mantenere la parte attiva a temperatura supercondittiva.

Vedi ad esempio:

Sistemi di accumulo elettromagnetico dell’energia: SMES

Idrostatico

L’accumulo idrostatico consiste nel semplice ed intuitivo sollevamento di un liquido, generalmente acqua, ad una quota più elevata la quale conferisce al fluido energia potenziale gravitazionale da spendere al momento desiderato. Tale sistema di accumulo pecca però per la scarsa quantità di energia per unità di volume.

Vedi ad esempio:

Sistemi di accumulo idrostatico dell’energia: I bacini delle centrali idroelettriche (Articolo in preparazione)

Aerostatico

L’accumulo aerostatico consta di un serbatoio nel quale un gas, solitamente aria, viene compresso al fine di acquisire energia potenziale di compressione. Anche il sistema di accumulo aerostatico, come quello idrostatico, non offre grandi vantaggi a causa della scarsa quantità di energia per unità di volume.

Vedi ad esempio:

Sistemi di accumulo aerostatico dell’energia: L’accumulo pneumatico e pneumatico/idraulico

Cinetico

L’accumulo cinetico sfrutta appositi volani per trasformare l’energia elettrica in energia cinetica di rotazione del rotore del volano.

Vedi ad esempio:

Sistemi di accumulo cinetico dell’energia: Gli accumulatori di energia cinetica a volano

Altre modalità

Esistono ovviamente altre modalità per accumulare energia, lo potete verificare ad esempio quando con un’apposita chiavetta caricate un’automobilina a molla e, in tal caso, trasformate la vostra energia muscolare in energia meccanica di tipo elastico pronta ad essere trasformata, a sua volta, in energia di movimento non appena sbloccate il dispositivo. Lo stesso dicasi quando si carica una balestra e, tirando la corda, si accumula energia elastica nei flettenti pronta ad essere restituita per espellere il dardo nel momento in cui desiderate effettuare il lancio. Tuttavia non si tratta di applicazioni considerabili per grandi accumuli energetici come quelli di cui si necessita ad esempio su un veicolo, un tram, un treno, un veicolo industriale, un impianto domestico di energia rinnovabile, un impianto industriale, una centrale elettrica, ecc.. Almeno per ora, non troverete gigantesche molle la cui compressione possa restituire, quando richiesto, energia sufficiente per illuminare un quartiere…

Fonti:
Articoli precedentemente redatti su questo blog
Aziende del settore
ENEA
Ricerche a cura dell’autore

Automobilina a molla - Design a cura di Wouter Scheublin

Automobilina a molla - Wouter Scheublin Design

Image’s copyright: wouterscheublin.com
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Sistemi di accumulo elettromagnetico dell’energia: SMES

Rubrica: Sistemi di accumulo dell’energia

Titolo o argomento: Il sistema SMES “Superconducting Magnetic Energy Storage systems”

Nei grandi impianti industriali la disponibilità di più di una linea di alimentazione di energia elettrica, proveniente dalla rete pubblica, può non essere sufficiente per garantire la continuità di servizio in seguito a buchi di tensione e microinterruzioni dell’alimentazione provocate da anomalie, o eventi atmosferici, sulle linee di trasmissione. Per “buchi di tensione” si intendono abbassamenti di tensione superiori anche al 50% rispetto al valore nominale, mentre con il termine “microinterruzioni” si intendono degli arresti, generalmente di durata inferiore al secondo di tempo, in cui l’abbassamento di tensione è totale, ovvero del 100% rispetto al valore nominale.

I sistemi ad accumulazione magnetica dell’energia elettrica basati sull’utilizzo di materiali superconduttori* (noti come Superconducting Magnetic Energy Storage systems o SMES) immagazzinano l’energia elettrica in un elettromagnete, ovvero in bobine avvolte su un nucleo magnetico che sono costituite da filo conduttore realizzato con Niobio e Titanio. L’elettromagnete è tenuto a temperatura criogenica** all’interno di un contenitore isolato termicamente al fine di mantenere uno stato di superconduzione. Il contenitore è un sofisticato criostato d’acciaio inossidabile, isolato termicamente e tenuto sotto vuoto, il quale contiene elio liquido ad una temperatura prossima allo zero assoluto (circa 4,2 Kelvin). Le perdite sono estremamente contenute e si stima che l’ingresso di calore nel sistema sia pari ad un solo Watt. Ciò permette di adottare un normale refrigeratore al fine di ricondensare la parte di elio che diventa gassosa. Un alimentatore a corrente continua inizialmente si occupa di caricare la bobina a superconduttori, successivamente opera un mantenimento della carica stessa al fine di compensare le normali perdite resistive, seppur minime, che si generano nella parte di circuito che si trova a temperatura più alta. Ciò permette di mantenere valori massimi di carica. Si tratta di sistemi in grado di alimentare instantaneamente un impianto tamponando buchi di tensione o microinterruzioni laddove è fondamentale la protezione degli impianti (o di sezioni di essi) atti ad alimentare carichi sensibili alla qualità dell’alimentazione stessa.

La tensione alternata, proveniente dalla rete, viene raddrizzata (trasformata cioè in corrente continua) e indirizzata verso la bobina tenuta in stato superconduttivo al fine di non opporre resistenza alcuna (resistenza ohmica) al passaggio della corrente ed evitando così perdite di energia sotto forma di calore (perdite termiche). Al raggiungimento della carica ottimale (grazie ad una corrente di alcune migliaia di ampere) la bobina viene cortocircuitata da un semiconduttore (mantenuto anch’esso a temperatura criogenica) e la corrente circola continuamente a mo’ di “volano elettrico”. Grazie alla temperatura criogenica il nucleo acquisisce un’elevata permeabilità permettendo l’accumulo di grandi quantità di energia, immediatamente disponibile e scaricabile, in uno spazio contenuto. Al momento opportuno l’energia stoccata sotto forma di corrente continua viene trasformata, mediante appositi inverter e dispositivi di controllo a commutazione, in corrente alternata da inviare dove richiesto per compensare buchi di tensione o microinterruzioni. Da notare che l’attivazione del “gruppo soccorritore” avviene 3,8 ms dopo il rilevamento di un abbassamento di tensione e, dopo altri 3 ms, la corrente in uscita dall’inverter raggiunge il valore richiesto.

Vantaggi

Possibilità di immagazzinare energia in un campo magnetico sotto forma di corrente elettrica.
Rapido accesso all’energia con impercettibili tempi di risposta (20 ms).
Possibilità di erogare instantaneamente più di 3MW di potenza per ogni singolo sistema accumulatore.
Elevata sicurezza: autospegnimento in caso di problemi imprevisti.
Rispetto dell’ambiente: sistemi criogenici ambientalmente sicuri, assenza di prodotti chimici pericolosi.
Assenza di usura e manutenzione: non ci sono parti mobili associate all’accumulatore di energia.
Vita utile: funzionalità e durata non sono influenzate dal numero di cicli né dalla profondità di scarica.

*Materiali superconduttori: materiali che assumono resistenza nulla al passaggio di corrente elettrica al di sotto di una certa temperatura.
**Criogenia: branca della fisica che si occupa dello studio, della produzione e dell’utilizzo di temperature molto basse.
Fonti:
American Superconductor
ClimateTechWiki
Power technology

Accumulo elettromagnetico dell'energia: i sistemi SMES

Image’s copyright: climatetechwiki.org
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Volantinaggio, che forzatura…

Rubrica: Pubblicità e dintorni

Titolo o argomento: Libertà di scelta

Diciamoci la verità, qualcuno crede ancora che il volantinaggio sia un buon metodo pubblicitario? Per pubblicizzare cosa esattamente? Non sono fastidiosi tutti quei foglietti di carta tra vetri e tergicristalli? In quanti casi vanno direttamente dal tergicristallo a terra? E’ probabile che sporchino solo le strade? Quanta carta sprecano? Potrebbe in futuro essere considerato un metodo poco ecologico?

L’aspetto irritante del volantinaggio è il ricevere forzatamente qualcosa che non si è chiesto. Non si ha la possibilità di dire “No grazie”. Ti ritrovi il volantino sull’auto, lo prendi e lo butti per terra, altrimenti, nei casi migliori, nel cestino più vicino. Spreco, inquinamento e nervoso. Uhm…

Oggi si sa, il volantinaggio di questo tipo è mal visto e non contribuisce alla buona reputazione di un’azienda (soprattutto delle più piccole). Questo significa che sempre più spesso troviamo sulle nostre auto volantini che si riferiscono ad attività che non riscuotono molto successo. Se la tua è una buona attività potrebbe essere catalogata in malo modo dalla gente solo per il mezzo che hai usato. Essendo buttato subito, un volantino, non fa in tempo a comunicare ciò che di speciale ha il tuo lavoro, specie quando presenta lunghi testi.

Esiste però una forma di volantinaggio apprezzata; troviamo ormai da tempo fuori da bar e locali dei piccoli espositori contenenti diversi tipi di giornali e volantini che pubblicizzano vari settori (immobiliare, automobilistico, ecc.), nuove attività commerciali aperte nelle nostre città o locali dove mangiare, ballare e divertirsi. Questo mezzo di comunicazione ha preso sempre più piede perchè offre la possibilità agli eventuali lettori di effettuare una scelta. Se oggi voglio prendo il volantino, se non sono interessato o se ho altro a cui pensare, lo prenderò un altro giorno. La possibilità di scegliere se visionare una pubblicità infastidisce meno e genera una maggiore attenzione, in quanto si sa… da che mondo e mondo, le cose imposte proprio non vanno giù.

Un modo decisamente più intelligente di usare la carta, e lasciarla liberare nell’aere, è senza dubbio quello di Paul Cocksedge* che con “Bourrasque”, nel cortile dell’Hotel de Ville a Lione, prolunga nel tempo un attimo che lascia spazio alla fantasia degli osservatori attoniti. Duecento fogli luminosi** si “liberano immobili” (sostenuti da una sottilissima struttura) nell’aria come se una folata di vento li avesse spinti verso un “ordinato disordine”. Un modo bello, artistico, suggestivo, di gettare la carta al vento…

* Paul Cocksedge, designer londinese.
**Realizzati in materiale elettroluminescente.

Bourrasque - Paul Cocksedge

Image’s copyright: paulcocksedge.co.uk
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Caratteristiche tecniche di una batteria

Rubrica: Energia

Titolo o argomento: Specifiche tecniche che descrivono le prestazioni di una batteria
Capacità

La capacità viene misurata in Amperora (Ah) e corrisponde alla carica elettrica accumulata e disponibile durante la scarica. Trattandosi di una caratteristica dinamica, essa deve essere definita insieme alle condizioni operative in cui viene misurata o a cui si riferisce dato che dipende dalle modalità in cui la batteria viene scaricata, nonché dalla temperatura e dalle varie condizioni operative. La capacità di una batteria che viene scaricata in 1 ora è di gran lunga inferiore a quella della stessa batteria scaricata in 20 ore.

Energia specifica o densità di energia

E’ la quantità di energia  che viene accumulata in una data batteria per unità di massa (o di volume), essa è legata alla reale autonomia del dispositivo sul quale viene installata (una calcolatrice così come un’auto elettrica). Per far riferimento ad un tema assai attuale, quale quello dei veicoli elettrici, è interessante notare che il primo motivo che ancora frena la larga diffusione di veicoli elettrici siaè la bassa energia specifica delle batterie, infatti 1 kg di benzina contiene oltre 12 kWh di energia contro 0,1 kWh di energia accumulata in 1 kg della migliore batteria attuale. Sebbene i concetti siano fondamentalmente i medesimi, l’energia specifica si esprime in termini di massa mentre la densità di energia si esprime in termini di volume. L’energia specifica è il rapporto tra l’energia accumulata e l’unità di massa in cui viene accumulata (Energia specifica ρ = Energia/Massa = kWh/kg), mentre la densità di energia è il rapporto tra l’energia accumulata e l’unità di volume che la contiene (Densità di energia ρ = Energia/Volume = kWh/dm^3).

Potenza specifica o densità di potenza

La potenza di un dispositivo elettrico, ad esempio un motore, dipende dalla potenza erogabile dalla batteria. E’ importante notare un aspetto critico che vede inevitabilmente legate la potenza specifica e l’energia specifica, infatti la potenza di scarica incide notevolmente sull’effettiva energia utile erogabile dalla batteria. Anche in questo caso, come per la precedente voce, i concetti di potenza specifica e densità di potenza sono fondamentalmente i medesimi, tuttavia la potenza specifica si esprime in termini di massa mentre la densità di potenza si esprime in termini di volume. La potenza specifica è il rapporto tra l’energia accumulata e l’unità di massa dalla quale viene erogata (Potenza specifica σ = Potenza/Massa = kW/kg), mentre la densità di potenza è il rapporto tra la potenza e l’unità di volume che la eroga (Densità di potenza σ = Potenza/Volume = kW/dm^3).

Vita ciclica

La durata di una batteria, la sua vita, è un parametro che solitamente si misura in numero di cicli profondi ovvero quante volte  essaè in grado di scaricarsi all’80% della sua capacità e riesce a ricaricarsi fino ad un valore non inferiore all’80% della sua stessa capacità. La vita ciclica è un parametro estremamente variabile il quale è largamente influenzato dalle condizioni d’uso. Per questa ragione risulta oltremodo importante non solo una progettazione ottimale del sistema di accumulo, bensì lo studio di precise modalità di ricarica e di manutenzione.

Rendimento energetico

Il rendimento energetico di un accumulatore elettrochimico dipende dal rendimento di scarica, dal rendimento di carica, la gassificazione (in riferimento ai sistemi ad elettrolita acquoso), dall’autoscarica, dal condizionamento termico (in riferimento ai sistemi operanti ad elevata temperatura). Il rendimento energetico influenza i consumi e, di conseguenza, i costi di esercizio. Esso, in un ciclo completo di carica/scarica varia tra il 50 e l’85% a seconda del tipo di batterie.

Costi

I costi di acquisto delle batterie dipendono dalla disponibilità ed il costo delle materie prime, il processo produttivo e la scala di produzione. I costi di esercizio dipendono dalle tariffe elettriche, dall’ammortamento di un eventuale impianto fotovoltaico atto alla ricarica e dal costo di sostituzione del pacco batterie durante la vita utile del veicolo che è solitamente maggiore della vita utile delle batterie stesse. I costi di manutenzione dipendono dalla tipologia di batteria. Ad esempio le batterie ad elettrolita acquosa necessitano di rabbocco di acqua distillata, quelle ad alta temperatura richiedono il controllo della corrosione e del mantenimento in temperatura, e così via. Infine è fondamentale tener conto non solo del costo unitario delle diverse tipologie di batterie (costo/kWh accumulato), bensì anche della loro durata e del loro rendimento.

Ricarica delle batterie

Se l’energia specifica delle batterie è il primo motivo che frena la larga diffusione dei veicoli elettrici, i tempi di ricarica costituiscono una seconda rilevante problematica. Mediamente ci aggiriamo intorno a tempi di ricarica completa pari a 6-8 ore con picchi, nel caso Tesla Roadster (nonchè Tesla Model S, ecc.) di sole (si fa per dire) 3 ore utilizzando un dispositivo BOOSTER (in dotazione con il veicolo) in grado di offrire una ricarica pari all’80% della capacità totale.
Si sta ovviamente pensando anche a soluzioni alternative quali ad esempio l’utilizzo di un piccolo motore a combustione interna (Vedi link in basso) fatto funzionare sempre e solo in condizioni ottimali e con consumi minimi per caricare le batterie o alimentare il motore elettrico; si sta pensando di inserire in Germania, lungo le autostrade, dispositivi di ricarica wireless (vedi link in basso); qualcuno pensa persino di elettrificare le autostrade, altri, più propriamente, pensano a stazioni di servizio nelle quali viene sostituito l’intero pacco batterie o, come nel caso delle batterie alluminio-aria, solo gli elettrodi consumati.

Precisazioni importanti

Quella che noi chiamiamo “batteria” si chiama più propriamente “accumulatore” o, meglio ancora, accumulatore elettrochimico. Quello che solitamente viene chiamato “motore elettrico” si chiama in realtà “macchina elettrica” anche se nel parlato comune con tali termini si fa riferimento a quello che in realtà si chiama “autoveicolo elettrico”.

Continua…
Link correlati
Sistemi di accumulo elettrochimico dell’energia: Le batterie
Auto elettriche: Ricarica Wireless in autostrada
Auto elettriche: Autostrade elettrificate
Lotus Range Extender

Accumulatore elettrochimico

Potete ricaricare una batteria collegandola, mediante opportuni dispositivi, alla rete elettrica,
oppure ad una colonnina di ricarica fotovoltaica o, persino, sostituendo meccanicamente gli
elettrodi. Ogni scarica fino all’80% della capacità (più la relativa ricarica) costituisce un ciclo.
Per aumentare la longevità di una batteria è preferibile evitare scariche profonde.
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Metodi per calcolare il determinante di una matrice

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Metodi e note per il calcolo del determinante
Matrici quadrate
Che cos’è il determinante?

La definizione più banale: Il determinante è un’operazione che associa un numero a tutte le matrici quadrate. La definizione con più connessioni: Il determinante è una funzione che ci indica esattamente quando n vettori di Rn sono linearmente indipendenti, infatti se due righe (o colonne) di una matrice quadrata sono proporzionali (e quindi linearmente dipendenti) il determinante vale zero. Ciò è strettamente legato al concetto di rango di una matrice (ovvero il numero dei vettori linearmente indipendenti) ed al fatto di cercare la dimensione della sottomatrice più grande con determinante diverso da zero in modo da stabilire la dimensione dell’immagine di un’applicazione lineare. Il determinante è omogeneo e additivo in ogni riga, da ciò si deduce che il determinante è lineare.

Prima di effettuare conti inutili

Se una riga (o colonna) di una matrice contiene tutti zeri, allora il determinante vale zero.
Se due righe (o colonne) di una matrice quadrata sono uguali allora il determinante vale zero.
Se due righe (o colonne) di una matrice quadrata sono proporzionali allora il determinante vale zero.
Se la matrice è diagonale il determinante si calcola moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale.
Se la matrice è triangolare il determinante si calcola moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale.
Il determinante della matrice identità vale 1.

Altre proprietà importanti
Se si scambiano due righe il determinante cambia di segno.
Se ad una riga sommo un’altra riga moltiplicata per uno scalare ≠ 0 il determinante non cambia.
Se ad una colonna sommo un’altra colonna moltiplicata per uno scalare ≠ 0 il determinante non cambia.
Se si moltiplicano gli elementi di una riga per uno scalare k anche il determinante risulta moltiplicato per k.
Se una matrice viene trasposta il determinante rimane il medesimo.
Date due matrici quadrate dello stesso ordine, la matrice prodotto ha per determinante il prodotto dei determinanti delle singole matrici.
Determinante di matrici del primo, secondo e terzo ordine

Premesso che il determinante di una matrice A del primo ordine 1 x 1 è uguale al numero stesso che compare nella matrice, passiamo subito al metodo relativo alle matrici del secondo ordine 2 x 2 nelle quali il determinante è uguale alla differenza fra il prodotto dei due elementi della diagonale principale e il prodotto fra i due elementi della diagonale secondaria.

Determinante di una matrice del secondo ordine

Il determinante di una matrice A del terzo ordine 3 x 3 è uguale alla somma dei prodotti di una riga qualunque per i rispettivi complementi algebrici. Cosa sono i complementi algebrici? Come si calcolano? Vedi il paragrafo successivo.

Determinante di una matrice del terzo ordine

Sopra, la formula di risoluzione delle matrici 3 x3, dove a11, a12, a13 sono ovviamente gli elementi della prima riga della matrice 3 x 3, mentre A11, A12, A13 sono i complementi algebrici dei rispettivi elementi. Nota che, se anche nella formula appena citata compaiono tutti segni positivi, in realtà il complemento algebrico di un elemento, la cui somma degli indici è pari, deve essere preceduto dal segno + (es. A11); mentre il complemento algebrico di un elemento, la cui somma degli indici è dispari, deve essere preceduto dal segno – (es. A12). Ovviamente se vi è una riga che contiene uno o più zeri la si sceglie al fine di ridurre notevolmente i calcoli.

Complemento algebrico ovvero determinante della matrice 2x2 ottenuta dalla matrice 3x3 cancellando 1 riga e una colonna

Complemento algebrico (o determinante della matrice minore)

Il complemento algebrico di un elemento “aij” di una matrice A di ordine 3 è il determinante della matrice di ordine 2 (detta matrice minore) ottenuta da A sopprimendo la riga “i” e la colonna “j” cui l’elemento appartiene. Il complemento algebrico deve essere preceduto dal segno + o dal segno – a seconda che l’elemento “aij” sia di classe pari (cioè la somma degli indici dà un numero pari) o classe dispari (cioè la somma degli indici dà un numero dispari).

Calcolo del determinante di una matrice del terzo ordine

Quindi il determinante di una matrice del  terzo ordine 3 x3 si definisce mediante determinanti del secondo ordine, estratti dalla matrice stessa, ovvero i complementi algebrici. Dalla matrice 3 x 3 si cancella una riga e una colonna e si calcola il determinante (come nel caso del secondo ordine) della matrice 2 x 2 dei termini restanti.

Metodo Sarrus per le matrici del terzo ordine

Il determinante di una matrice 3 x 3 (vedi ad esempio il caso precedente) può essere calcolato anche in un altro modo utilizzando la regola di Sarrus.

  1. Per il calcolo del determinante si riscrivono, alla destra della matrice, le prime due colonne della matrice stessa.

  2. Si moltiplicano poi i termini lungo la diagonale principale e lungo le due diagonali (solo quelle con tre termini) parallele ad essa, dopodichè si scrivono i prodotti ottenuti e si sommano tra loro.

  3. Il procedimento viene ripetuto moltiplicando e poi sommando (come nel punto precedente) i termini lungo la diagonale secondaria e lungo le due diagonali (sono quelle con tre termini) parallele ad essa.

  4. Il determinante sarà uguale alla differenza fra la prima e la seconda somma di prodotti.

Calcolo dei determinanti di matrici di ordine superiore al terzo

Calcolare il determinante di una matrice n x n consiste essenzialmente nell’applicazione ripetuta delle regolette sopra trattate; se abbiamo ad esempio una matrice 4 x 4 possiamo adoperare la formula che fa uso del complemento algebrico e, per semplificare le operazioni, risolvere le matrici minori 3 x 3 ottenute con la regola di Sarrus.

Calcolo del determinante mediante eliminazione di Gauss

Se S è una matrice triangolare superiore ottenuta dalla matrice A effettuando un’eliminazione di Gauss (o una riduzione a scala) con “σ scambi di righe”, allora il determinante della matrice A si ricava mediante la formula:

Determinante matrice triangolare superiore ottenuta mediante eliminazione di Gauss

dove il numero (-1)σ è uguale a “-1” se σ è dispari, ed è uguale a “+1” se σ è pari.

In sostanza il determinante in questo caso lo si ottiene moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale principale (ovvero i pivot p1, p2, …, pn, dato che si tratta di una matrice triangolare ottenuta mediante eliminazione di Gauss) e inserendo il segno corretto che tiene conto di quanti scambi di righe sono stati effettuati.

Calcolo del determinante in seguito ad eliminazione di Gauss

Sviluppo di Laplace

Il determinante di una matrice quadrata A è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici. Si tratta del metodo che, forse più semplicemente, abbiamo riportato in linea generale, pochi paragrafi più su, occupandoci delle matrici del terzo ordine. Lo sviluppo di Laplace può essere effettuato lungo la colonna j-esima così come lungo la riga i-esima.

Sviluppo di Laplace lungo le colonne o lungo le righe
Un esempio numerico è sempre gradito, osserviamo la seguente matrice 5 x 5:
Esempio sviluppo di Laplace su matrice 5 x 5

Scegliamo di eseguire il calcolo lungo la terza colonna in quanto presenta tutti zeri ad eccezione dell’elemento “a53” che invece vale 1. Andiamo pertanto ad eseguire i calcoli solo sull’elemento “a53” ed otteniamo quindi:

Esempio sviluppo di Laplace su matrice 5 x 5 Esempio sviluppo di Laplace su matrice 5 x 5

Ora il gioco si ripete, si tratta infatti di un procedimento ricorsivo che si ripete tante più volte quanto maggiore è l’ordine della matrice. Trovandoci ora davanti ad una matrice 4 x 4 di cui si deve ricavare il determinante, si riapplica il medesimo procedimento, si sceglie ad esempio di eseguire i calcoli lungo la prima colonna dove, nuovamente, troviamo tutti zeri ad eccezione dell’elemento “a21” che vale 1.

Esempio sviluppo di Laplace su matrice 4 x 4

Esempio sviluppo di Laplace su matrice 4 x 4 Esempio sviluppo di Laplace su matrice 4 x 4

A questo punto possiamo scegliere se risolvere la matrice 3 x 3 utilizzando nuovamente lo sviluppo di Laplace, oppure adottando la regola di Sarrus. Scegliendo la seconda opzione si ricava il determinante di A che vale -27.

Matrici rettangolari
Caratteristica di una matrice m x n

Premesso che non è possibile (non è logico) calcolare il determinante di una matrice m x n (dato che ci si trova davanti ad un numero di equazioni differente dal numero di incognite) è però opportuno definire il concetto di caratteristica di una matrice m x n.

Se si considera una matrice 3 x 4 è possibile estrarre da essa delle sottomatrici 3 x 3 il cui determinante si chiamerà “minore di ordine 3”. E’ possibile anche estrarre delle matrici 2 x 2 e, in tal caso, il loro determinante si chiamerà “minore di ordine 2”. Quindi, generalizzando, il minore di ordine q di una matrice m x n sarà il determinante della sottomatrice quadrata estratta dalla matrice iniziale ed avente q righe e q colonne.

La caratteristica di una matrice non nulla sarà quindi il massimo ordine dei minori non nulli estraibili da essa.

Note

Matrice minore: la matrice che si ricava eliminando la “riga i” e la “colonna j” relative all’elemento “aij“.
Minore complementare: determinante della matrice minore.
Complemento algebrico (o cofattore): lo scalare ottenibile dal minore complementare di “aij” preso con il proprio segno o con il segno cambiato a seconda che la somma i+j sia rispettivamente pari o dispari.

Suggerimenti per la rapidità di calcolo

Nel caso di matrici con molti zeri, dette anche matrici “sparse”, risulta conveniente eseguire il calcolo del determinante tramite gli sviluppi di Laplace. Nel caso invece di matrici senza particolari caratteristiche può risultare di gran lunga meno laborioso il metodo che si basa sull’eliminazione di Gauss.

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Introduzione alle matrici

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AIRET 2012. Importare le tecnologie dell’Aeronautica nel Motorsport

Nei giorni di Giovedì 6 e Venerdì 7 Settembre si è tenuta a Rimini la fiera AIRET, si tratta di una mostra convegno che si occupa dei processi tecnologici, della subfornitura, dei componenti, dei materiali innovativi e dei servizi avanzati per l’industria dell’aeronautica e delle tecnologie connesse (lo slogan dice: La tecnologia “prende letteralmente il volo” aprendo una finestra sul futuro del settore dell’aeronautica e di quanto ad essa collegato). Personalmente non sono un grande cultore del mondo dell’aviazione, piuttosto un modesto amatore, tuttavia la Formula 1 (nonchè altre categorie altrettanto interessanti ma meno note al pubblico come l’Endurance) che viene spesso definita “la massima categoria”, in realtà trae moltissimi spunti dal mondo dell’aeronautica, dalle sue tecnologie, dai suoi processi di produzione, dai suoi materiali e dai suoi metodi. Credo che in realtà la massima categoria sia proprio l’aeronautica a partire da quella civile, passando per quella militare ed arrivando a quella spaziale.

Così, studiando all’esasperazione le vetture da corsa più estreme mai prodotte, può balenar per la mente: “Perchè non andare a curiosare in una fiera dove l’oggetto più semplice vola a qualche chilometro da terra a diverse centinaia di chilometri orari?”. La fiera è strettamente riservata agli operatori del settore e a chi frequenta il mondo dell’Università e si vede impegnato dai normali corsi di studio in Ingegneria fino alla ricerca. Oltre ad un’interessante esposizione dove si possono osservare materiali, attrezzature e macchinari (che non credo troverete dal ferramenta sotto casa) vi è un vasto programma di convegni (a pagamento) condensati in due giornate, che aggiornano stampa, esperti del settore, e tutti coloro che sono coinvolti in questo straordinario mondo, sulle ultime novità in via di diffusione lungo l’intero pianeta. Senza ulteriori dilungamenti, basti pensare che durante le due giornate di convegni si sono trattati argomenti del tipo: “Volare con EGNOS e PBM: una rivoluzione epocale”, “Aeromobili e Tecnologie di Eccellenza”, “I materiali per l’impiego aeronautico”, “Lavorazioni innovative e nuove tecnologie”, “Compositi per un trasporto aereo più sicuro”, “Il miglioramento della sicurezza in ambiti militari”, e molto altro.

Decisamente interessanti i sistemi di laser scanning esposti e messi a disposizione del visitatore per una prova, si tratta di strumenti in grado di “scannerizzare” un oggetto esistente ricavandone le “matematiche” al fine di comparare l’oggetto reale prodotto con il suo modello 3D nominale realizzato mediante tecnologia “computer aided”. Simili prove comparative sono in grado di far emergere facilmente problemi quali difettosità di materiali o dei macchinari in modo da fermare in tempo una linea di produzione prima che venga realizzato un numero consistente di prodotti difettosi.

In costante aumento l’offerta dei macchinari per la prototipazione rapida (riduttivamente chiamati stampanti 3D), ce ne sono ormai di tutte le misure e per tutte le esigenze, in grado di stampare con diverse tecniche (SLA – StereoLitographic Apparatus, SLS – Selective Laser Sintering, FDM – Fused Deposition Modelling, ecc.) utilizzando diversi materiali (ABS-M30, ABSplus-P430, ABS-EDS7, ABS-M30i, ABSi, PC-ABS, PC, PC-ISO, ULTEM 9085, PPSF, PPSU, ecc.), polveri e resine con differenti proprietà meccaniche e, persino, colori. Il vero limite è il vostro ingegno.

Per quanto riguarda invece il Rapid Manufacturing destano particolare interesse, per le numerose somiglianze con le tecniche di lavorazione RP e la possibilità di lavorare per addizione di materiale, i macchinari per la sinterizzazione di polveri metalliche e la fusione laser. Questi permettono di conferire facilmente forme complesse, pressoché impossibili da realizzare in fonderia, a polveri di alluminio, titanio, acciaio, Inconel, leghe speciali, ecc., al fine di ottenere un pezzo finito direttamente utilizzabile sia esso per il settore dell’aeronautica, sia esso per l’automotive o il motorsport, che per il settore medicale (vedi ad es. le protesi).

Infine non possono mai mancare le macchine CNC (Computer Numerical Control) che continuano a mantenere prezzi decisamente elevati (non è difficile preventivare una spesa a partire dai 300.000,00 Euro) nonostante il livello sia pressoché livellato da diversi anni.

Fiera AIRET - Tecnologie per l'Aeronautica ma non solo... Laser scanning - Ricavare le matematiche di un prodotto finito Laser scanning - Dettaglio del raggio laser che colpisce l'oggetto per effettuare il rilievo delle matematiche Riproduzione dell'oggetto fisico comparata con il modello CAD Dal modello ottenuto tramite tecniche RP al prodotto finito Mandrini e utensili per CNC CNC - Computer Numerical Control

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Sistemi di accumulo elettrochimico dell’energia: Le batterie

Rubrica: Energia

Titolo o argomento: Sistemi di accumulo dell’energia

Tempo addietro avevo scritto un articolo che accompagnava il lettore in una rapida introduzione alle batterie impiegabili nella realizzazione di una eBike artigianale (Confronto caratteristiche batterie per kit di trasformazione bici in eBike, ma non solo…), ebbene con “ma non solo…” si sottintendeva che la batteria è un valido sistema di accumulo dell’energia elettrica per diversi impieghi quali ad esempio trasporti, edilizia, industria, sistemi di sicurezza, automazione, robotica, comunicazioni, settore delle rinnovabili, illuminazione, elaboratori, utility, ecc.. Principalmente possiamo distinguere le batterie in cinque categorie affermate, ovvero, quelle al piombo-acido, quelle alcaline, quelle ad alta temperatura, quelle metallo-aria e quelle al litio. Ognua di queste categorie presenta dei vantaggi e degli svantaggi talvolta noti, talvolta meno, ma di sicuro raramente espressi con numeri espliciti.

Attenzione, la “densità di energia” può essere espressa sia in “Wh/litro” o in “Wh/dm^3” che in “Wh/Kg” (ed in tal caso prende solitamente il nome di “energia specifica”). Questo perchè la densità di energia esprime il rapporto energia accumulata su volume o, se necessario, il rapporto energia accumulata su massa. La differenza tra il rapportare l’energia accumulata sul volume o sulla massa, risiede nella possibilità di poter valutare lo spazio occupato per accumulare una determinata quantità di energia, oppure la massa caricata (ad esempio a bordo di un veicolo) per accumulare la medesima quantità di energia. I dati delle batterie riportate di seguito potrebbero essere espressi nell’una o nell’altra unità di misura, ovviamente le due unità di misura non sono direttamente confrontabili e, il passaggio da un’unità di misura all’altra richiede di conoscere la densità (kg/dm^3) di ognuno dei vari elementi costituenti. Lo stesso discorso vale per la “densità di potenza” la cui unità di misura, nella quale non compare l’h, può essere espressa in relazione al volume “W/litro” o “W/dm^3” o in relazione alla massa (ed in tal caso prende il nome di “potenza specifica”).

Batterie piombo-acido

Trattasi del sistema di accumulo il quale, sebbene  presenti forti limiti quali bassa densità di energia, lunghi tempi di ricarica, necessità di manutenzione continua e sensibilità alla temperatura operativa, è stato il più utilizzato per molti anni anche per impieghi come la trazione elettrica. Oggi la batteria al piombo-acido resiste ancora e viene adottata per alimentare due estremi opposti, mezzi elettrici molto piccoli (scooter e biciclette a pedalata assistita) e mezzi elettrici molto grandi (autobus e minibus). Di fondamentale importanza risulta il ruolo della ricerca e sviluppo che, attualmente, prosegue gli studi per migliorare il più possibile le prestazioni di simili batterie. Attualmente esistono batterie al piombo-acido con elettrodo positivo a piastra piana, a piastra tubolare, a ricombinazione di gas, ecc., quelle prevalentemente utilizzate in passato per la trazione elettrica avevano elettrodi positivi tubolari capaci di fornire una densità di energia pari a 35 Wh/kg e una potenza specifica di 50-60 W/kg. Il limite di tale batterie è quello di resistere a scariche profonde per un numero assai limitato di cicli (solo 800) inoltre per una ricarica completa richiedono circa 8 ore.

Energia specifica: 35 Wh/Kg
Densità di energia: __ Wh/l
Potenza specifica: 50-60 W/kg
Densità di potenza: __ (W/l)
Vita, cicli di carica/scarica: 800 cicli
Tempi di ricarica: 8 ore

Batterie alcaline
Nichel-Cadmio (NiCd)

Senza dubbio un accumulatore affidabile, resistente anche ad intensi maltrattamenti in carica e scarica, con un’elevata ciclabilità, alta potenza specifica e buona energia specifica (raggiunta solo di recente grazie allo sviluppo di tecniche costruttive innovative), tuttavia i costi sono da 5 ad 8 volte superiori a quelli di una batteria al piombo-acido. Le prestazioni sono migliorate grazie all’adozione di feltri metallizzati con impregnazione elettrochimica del nichel che hanno consentito risparmi dello stesso nichel pari al 30% a parità di prestazioni. Sono inoltre stati adoperati leganti organici i quali hanno reso possibile il raggiungimento di una densità di energia doppia rispetto alle precedenti batterie con valori di circa 50 Wh/kg ed un numero di cicli previsti pari a 2000. I tempi di ricarica inferiori alle 5 ore hanno reso per diverso tempo questo sistema di accumulo molto interessante, nonostante ciò la tossicità del nichel per l’ambiente ne sta decretando l’uscita di scena.

Energia specifica: 50 Wh/Kg | 20* Wh/kg | 35** Wh/kg
Densità di energia: 40* Wh/l | 100** Wh/l
Potenza specifica: __ W/kg
Densità di potenza: __ (W/l)
Vita, cicli di carica/scarica: 2000 cicli
Tempi di ricarica: inf. 5 ore

*riferito alle batterie tascabili
**riferito alle batterie sigillate

Nichel-Ferro (NiFe)

Date le caratteristiche tutto sommato analoghe alle batterie alcaline al Nichel-Cadmio (elevata densità di energia e ciclabilità), ma con l’adozione del ferro in sostituzione del nichel al fine di evitare danni all’ambiente, si pensava che questa batteria avrebbe rappresentato la risposta migliore per l’accumulo dell’energia specie sui veicoli a trazione elettrica. Così non è stato, si sono verificati infatti importanti problemi di autoscarica e di riscaldamento con conseguente riduzione del rendimento energetico.

Energia specifica: 30* Wh/Kg fino a 55*Wh/Kg
Densità di energia: __ Wh/l
Potenza specifica: __ W/kg
Densità di potenza: __ (W/l)
Vita, cicli di carica/scarica: simili a NiCd
Tempi di ricarica: simili a NiCd

*riferito alle batterie tascabili

Nichel-Zinco (NiZn)

Considerato per molti anni uno degli accumulatori più promettenti, anche la batteria Nichel-Zinco presenta interessanti vantaggi contrappesati allo stesso tempo da note dolenti. Innanzitutto la densità di energia risulta essere buona se rapportata alle precedenti batterie descritte, siamo infatti intorno ai 60-80 Wh/kg. In secondo luogo i reagenti sono ampiamente disponibili. D’altra parte le batterie Nichel-Zinco peccano per bassa ciclabilità ed estrema sensibilità alle sovraccariche; si tratta di problemi, mai risolti completamente, causati dalla solubilità dello zinco nell’elettrolita e dalla crescita dendritica. Lo sviluppo di nuovi separatori e l’aggiunta di appositi additivi agli elettrodi ed all’elettrolita hanno posto rimedio a tali problemi solo in parte.

Energia specifica: 60-80 Wh/Kg fino a 120 Wh/kg
Densità di energia: __ Wh/l
Potenza specifica: __ W/kg
Densità di potenza: __ (W/l)
Vita, cicli di carica/scarica: ridotta
Tempi di ricarica: /

Nichel-Idrogeno (NiH2)

La ricerca in campo spaziale ha portato allo sviluppo di batterie Nichel-Idrogeno ad elevate prestazioni, ciò nonostante, come per molte applicazioni progettate per uso nello spazio, i costi sono esorbitanti. La principale causa risiede nei materiali utilizzati che, in questo caso, solo il platino per la cella ed il titanio per il contenitore in pressione. Si tratta comunque di batterie caratterizzate da un’elevata vita ciclica, una buona potenza specifica e una buona robustezza generale del sistema.

Energia specifica: 64 Wh/Kg fino a 105 Wh/kg
Densità di energia: __ Wh/l
Potenza specifica: __ W/kg
Densità di potenza: __ (W/l)
Vita, cicli di carica/scarica: elevata
Tempi di ricarica: /

Nichel-Idruri metallici (NiMH)

Per quanto riguarda le batterie alcaline, la più recente è quella nichel-idruri metallici (conosciuta anche come batteria al Nichel metallo idruro o, più impropriamente Nichel metal idrato). Questo sistema di accumulo sostituisce il cadmio con una lega metallica (vanadio, titanio, zirconio, nichel, cromo) al fine di risolvere il problema dell’impatto ambientale. Trattasi di una batteria caratterizzata da una buona energia specifica, un’elevata ciclabilità (circa 2000 cicli per scariche all’80% di DoD, Depth of Discharge), manutenzione assente, costo inferiore rispetto alle Nichel-Cadmio, autoscarica molto lenta, tempi di ricarica compresi tra le 3 e le 4 ore, nonché un’altissima potenza specifica superiore a 1000W/kg.

Energia specifica: 240 Wh/Kg
Densità di energia: 75 Wh/l
Potenza specifica: 1000-1300 W/kg
Densità di potenza: __ (W/l)
Vita, cicli di carica/scarica: 2000 cicli c.a. per scariche all’80%
Tempi di ricarica: 3-4 ore

Batterie alta temperatura
Sodio-Nichel cloruri metallici

Derivata dall’accumulatore Sodio-Zolfo questa batteria viene chiamata anche “Zebra”. Al posto del catodo di zolfo adotta un cloruro metallico (di nichel o di ferro) con un ulteriore elettrolita liquido, questo evita i problemi di corrosione che si verificavano con la soluzione precedente. E’ stato inoltre evitato l’uso del nichel per la costruzione del contenitore, una scelta che non ha influito sulle prestazioni elettriche ed energetiche ma ha reso il prodotto più economico e quindi accessibile. Altra caratteristica piuttosto interessante è la capacità di lavorare in condizioni estreme, ad alte temperature (250°C) ed in modo continuo. Questo tipo di batterie sono state sottoposte a test che hanno dimostrato una vita utile di 10 anni e circa 1.500 cicli di carica/scarica.

Energia specifica: 145* Wh/Kg
Densità di energia: 340* Wh/l
Potenza specifica: 271* W/kg
Densità di potenza: 613* (W/l)
Vita, cicli di carica/scarica: 10 anni, 1500 cicli
Tempi di ricarica: /

*riferifo a celle da 30-40 Ah

Batterie metallo-aria

Trattasi di una tipologia di batteria assai particolare la quale utilizza un elettrodo negativo metallico che, a seconda del materiale (alluminio, zinco, ferro) offre prestazioni differenti, ed un elettrodo positivo che sfrutta l’ossigeno contenuto nell’aria in modo piuttosto simile a quello delle celle a combustibile. Il risultato è un sistema di accumulo con potenza specifica ed energia specifica elevate.

Alluminio-aria

La batteria alluminio-aria deve essere ricaricata meccanicamente, ciò significa che gli elettrodi di alluminio devono essere sostituiti una volta che questa si è scaricata. La ricarica in questo modo risulta assai veloce (quasi al pari di un pieno di carburante) ma richiede personale specializzato, apposite infrastrutture e implica costi elevati.

Zinco-aria

La batteria zinco-aria manifesta instabilità dello zinco con conseguente riduzione della vita utile e delle prestazioni. Il lato positivo è che può essere ricaricata sia meccanicamente che elettricamente, inoltre risulta più economica rispetto al tipo alluminio-aria.

Ferro-aria

La batteria ferro-aria si ricarica solo in modo tradizionale ma risulta interessante per i costi ridotti. Il problema di tali celle è che, per il momento, non vanno oltre i 300 cicli di carica/scarica.

Energia specifica: __ Wh/Kg
Densità di energia: __ Wh/l
Potenza specifica: __ W/kg
Densità di potenza: __ (W/l)
Vita, cicli di carica/scarica: /
Tempi di ricarica: /

Batterie al litio

L’ultima generazione di accumulatori (i più promettenti) sono quelli al litio. Essi sono caratterizzati dall’utilizzo di una varietà di materiali elettrodici ed elettrolitici i quali danno vita ad un gran numero di coppie elettrochimiche. Il risultato è una vasta gamma di prodotti “al litio”. Pur essendo differenti tra loro, per via dei materiali impiegati, vi è un elemento fondamentale in comune, ovvero lo ione portatore della carica elettrica: ione Litio, Li+. Il litio è l’elemento della tavola periodica avente il potenziale elettrochimico più negativo (E0=-3.045 V) ragione per cui, accoppiandolo con un altro elemento, si ottiene una elevata differenza di potenziale la quale è direttamente proporzionale all’energia di una cella. Esso inoltre è un metallo alcalino, ha un modesto peso atomico e una forte reattività, tali caratteristiche lo rendono ideale per la produzione di accumulatori ma, allo stesso tempo, ne fanno un elemento pericoloso che deve essere impiegato in batterie ad elevato standard qualitativo costruite in ambienti severamente controllati privi di umidità, contaminanti e agenti fisici. Durante l’utilizzo un accumulatore agli ioni di litio può esplodere se si surriscalda ed i dispositivi di sicurezza (interruttore termico, valvola di sfiato) non funzionano a dovere; anche in fase di ricarica l’accumulatore può esplodere nel caso in cui la carica sia eccessiva e mal gestita dal caricatore (solitamente è opportuno utilizzare caricatori appositi gestiti da processore). Costo e sicurezza sono fattori limitanti nella diffusione di queste batterie per impieghi differenti da quelli consumer (gadget e utility elettroniche di dimensioni medio piccole), per tali ragioni la ricerca sta compiendo un enorme lavoro per impiegare nella maniera migliore simili dispositivi anche sui veicoli elettrici ed ibridi o per le reti di distribuzione di energia per il taglio dei picchi ed il livellamento di carico.

Litio metallico

Si tratta di una tipologia di accumulatori che hanno l’anodo costituito da litio metallico e l’elettrolita, che invece può essere sia liquido che solido, costituito da materiali ceramici, vetrosi oppure polimerici. I vantaggi si traducono in bassa resistenza interna, capacità elevata, potenza specifica elevata, energia specifica elevata. D’altra parte però l’estrema reattività del litio metallico provoca importanti problemi di sicurezza.

Litio ione

Gli accumulatori litio ione hanno prestazioni inferiori ai precedenti al litio metallico tuttavia, la minore reattività, offre maggiore stabilità nonché sicurezza nelle fasi di produzione e successivo utilizzo. In questo genere di accumulatori vengono utilizzati materiali elettrodici ad intercalazione (ossia che accettano ioni di litio all’interno della loro struttura) che possono accumulare e rilasciare grandi quantità di litio reversibilmente. Il tipo di materiali elettrodici ed elettrolitici stabilisce la tensione di lavoro delle singole celle ed ha effetto sull’energia specifica delle stesse. Quasi tutte le tipologie di celle al litio superano i 3 Volt di tensione a vuoto. Nella tabella che segue sono riportate alcune delle caratteristiche principali delle batterie litio-ione (in fase di studio e sviluppo) destinate a veicoli elettrici ed ibridi; tra queste troviamo le batterie litio ione NCA Grafite (Nichel-Cobalto Alluminio), le LFP Grafite (Litio Ferro Fosfato), le MNS TiO (Manganese Spinello), le MN Grafite (Manganese ossido).

Energia specifica: fino a 230 Wh/Kg
Densità di energia: fino a 530 Wh/l
Potenza specifica: fino ad alcuni kW/kg
Densità di potenza: __ (W/l)
Vita, cicli di carica/scarica:
-c.a 1000-2000 cicli con scariche del 100%,
-sup. 100.000 cicli con scariche minime
Tempi di ricarica: /

Fonti:
Aziende del settore
Dispense e appunti universitari – Università Politecnica delle Marche
ENEA

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