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Che cos’è la piezoelettricità?

Rubrica: Energia

Titolo o argomento: Dalla deformazione alla corrente e viceversa

Vi sono dei cristalli solidi i quali, se sottoposti ad una sollecitazione meccanica di compressione o di torsione, generano una differenza di potenziale tra le loro superfici. Affinché ciò sia possibile essi devono necessariamente essere tagliati in sottili lamine secondo un preciso asse. Come per la termoelettricità (vedi l’articolo: Che cos’è la termoelettricità?) si tratta di un “effetto reversibile” che si manifesta su scala nanometrica. I cristalli piezoelettrici di rilevante interesse sono il quarzo (caratterizzato da ottima resistenza agli urti ed al calore), la tormalina (inattaccabile dagli acidi) ed il sale di Seignette o sale di Rochelle (presenta un’altissima piezoelettricità). Si tratta di minerali appartenenti a classi di simmetria con assi polari. L’effetto, che è stato scoperto ad opera dei fratelli Curie nel 1880, può essere distinto tra “diretto” (o primario), “inverso” (o reciproco – scoperto in seguito da Lippman), “longitudinale” e “trasversale”.

Effetti

L’effetto diretto consiste nella polarizzazione elettrica prodotta nelle due facce del cristallo da uno sforzo meccanico; tale polarizzazione cambia di segno con l’inversione dello sforzo. L’effetto inverso, invece, in seguito all’applicazione di un campo elettrico, produce una deformazione meccanica. Si ha l’effetto longitudinale qualora una dilatazione in una data direzione produce una polarizzazione nella medesima direzione. Infine, qualora si verifichi una dilatazione perpendicolare al campo elettrico che la produce, ci troviamo davanti all’effetto trasversale. Affinché un cristallo sia ritenuto piezoelettrico, deve necessariamente essere caratterizzato dall’effetto primario e da quello inverso.

Assi

Un cristallo piezoelettrico, ad esempio il quarzo, è caratterizzato dai seguenti assi: l’asse ottico (rappresentato in figura dall’asse z) il quale altro non è che l’asse di simmetria del cristallo, gli assi elettrici (rappresentati in figura con x1, x2, x3) i quali congiungono i vertici opposti dell’esagono su un piano perpendicolare all’asse z e gli assi meccanici (rappresentati in figura con y1, y2, y3) i quali congiungono i punti medi dei lati dell’esagono.

L’esperimento di Curie

Curie tagliò un cristallo di quarzo ricavandone una lamina parallelepipeda (la sezione rettangolare è marcata dalla zona gialla in figura) di lati “L” x “e” x “d” paralleli rispettivamente a un asse meccanico, a un asse elettrico ed all’asse ottico. Egli riscontrò quanto segue:

Applicando una forza meccanica F lungo la direzione dell’asse elettrico, sulle facce perpendicolari a tale asse si maniferstano due cariche opposte (q1 e -q1) legate alla forza mediante la relazione: q1 = k·F, dove k è una costante.

Applicando una forza F lungo l’asse meccanico (direzione perpendicolare alla precedente), sulle stesse facce del caso precedente, cioè sulle facce perpendicolari all’asse elettrico, si manifestano due cariche opposte (q2 e -q2) legate alla forza mediante la relazione: q2 = -k·L/e·F, dove k è la stessa costante mensionata precedentemente, “L” ed “e” sono le dimensioni della sezione del parallelepipedo ed F è la forza applicata.

Applicando una forza F lungo l’asse ottico non si produce alcun effetto di polarizzazione.

Applicando una differenza di potenziale V tra le facce perpendicolari all’asse elettrico, e quindi polarizzando elettricamente la sbarretta, si produce una dilatazione (o una contrazione) S, in direzone dello stesso asse, proporzionale a V secondo la relazione: S = k’·V (effetto longitudinale).

Applicando la medesima differenza di potenziale V del caso precedente tra le medesime facce perpendicolari all’asse elettrico, si produce anche una dilatazione (o contrazione) S’ lungo l’asse meccanico secondo la relazione: S’ = -k’·L/e·V (effetto trasversale).

Vibrazione forzata e risonanza

L’effetto inverso è stato largamente sfruttato per numerosi impieghi. Applicando infatti una corrente alternata alle facce di una lamina piezoelettrica si produce una vibrazione forzata di ampiezza notevolmente ridotta. Quando i valori della frequenza sono prossimi a quelli della frequenza della lamina si raggiunge il fenomeno della risonanza il quale permette di ottenere oscillazioni di ampiezza assai elevata. Il fenomeno della risonanza ha permesso di utilizzare la piezoelettricità per numerose applicazioni altrimenti non realizzabili con comuni circuiti.

Applicazioni

Risonatori al quarzo generanti onde acustiche (Paul Langevin) ovvero i sonar; interferometri acustici per la misura della velocità del suono; applicazioni radiotecniche; attuatori; trasduttori di pressione; accelerometri; sensori (largamente utilizzati per la telemetria dei veicoli e motoveicoli da corsa); motori lineari e rotativi piezoelettrici; sensori ed attuatori modali per il controllo delle vibrazioni di strutture; sensori ed attuatori modali per il controllo del rumore irradiato; microfoni piezoelettrici; microfoni a pressione; microfoni a cellula; microfoni unidirezionali; altoparlanti piezoelettrici; cuffie piezoelettriche; apparecchiature medicali…

Effetto piezoelettrico - Assi elettrici, assi meccanici, asse ottico

L’asse ottico (asse z) altro non è che l’asse di simmetria del cristallo, gli assi elettrici (x1, x2, x3)
congiungono i vertici opposti dell’esagono su un piano perpendicolare all’asse z e gli assi meccanici
(y1, y2, y3) congiungono i punti medi dei lati dell’esagono. Curie tagliò un cristallo di quarzo
ricavandone una lamina a forma di parallelepipedo la cui sezione frontale rettangolare è
evidenziata in giallo.
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Come nascono le invenzioni?

Rubrica: Invenzioni
Titolo o argomento: Cosa c’è dietro la famosa lampadina che si accende?

Una scintilla, un colpo di genio, creatività… no, non è così che nasce un’invenzione. Sebbene io usi spesso il termine “creatività”, lo faccio solo per questioni di semplicità e immediatezza nell’esprimere un concetto che nell’ordinario collettivo viene così denotato. In realtà la creatività non esiste, almeno non per l’uomo. Si tratta di un dono proprio solo di Chi ha creato ciò che “è”, l’universo, i pianeti, le stelle, le condizioni per la vita sulla terra, la vegetazione, l’uomo. Ed è proprio quest’ultimo, l’uomo, che non crea. Egli è un abile artigiano che trasforma ciò che già esiste nella sua utilità più o meno indispensabile. L’uomo genera delle connessioni basate sull’esperienza maturata, su studi fatti, su necessità, su risoluzioni di problemi. Dalla sua preparazione, dalle sue conoscenze e dal grado di approfondimento e specializzazione maturato, deriva il successo dell’idea scaturita. A sua volta un’idea è il risultato di una serie di operazioni che la mente ha eseguito, anche inconsciamente, per giungere alla soluzione che, solo apparentemente, arriva come una improvvisa e inaspettata scintilla ma in realtà è molto più calcolata (dal nostro cervello) di quanto noi stessi possiamo immaginare. A mio avviso le invenzioni sono pertanto risultati di connessioni tra temi spesso apparentemente differenti o le cui relazioni/connessioni non sono di visibilità immediata per tutti, almeno non sempre.
Il motivo per cui la maggior parte delle invenzioni sono strampalate e mettono spesso in cattiva luce chi si definisce “inventore”, risiede quindi nel fatto che sono realizzate di frequente da chi non ha una preparazione adeguata sui temi che affronta. Questa banale conclusione dimostra in pieno la tesi precedentemente esposta e ci porta alla conclusione che un’invenzione realizzata senza basi è opera di una logica più fantasiosa e artefatta che razionale e deterministica, ed il risultato non può che essere claudicante a men che la “casualità” non porti a scoperte inaspettate.

Invenzioni...

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Alesatura dei cilindri di un motore a combustione interna

Rubrica: Tecniche di fabbricazione – Lavorazioni per asportazione di trucioli

Titolo o argomento: L’alesatura

Quando le condizioni dei cilindri di un motore sono tali da non permettere il corretto scorrimento dei pistoni o, al contrario, lo lasciano scorrere fin troppo agevolmente senza assicurare la dovuta tenuta, si può decidere di sostituire il veicolo, tentare di ripararlo oppure… rettificare e restaurare con un alto grado di precisione il motore. L’ultimo caso, sconosciuto ai più e spesso sottovalutato, è un metodo di assoluta convenienza nel caso in cui le condizioni del veicolo siano tali da soddisfare ancora egregiamente chi ne fa uso. Si tratta di un’opzione che permette di recuperare un motore a combustione interna allungandone la vita utile ed evitando i costi legati all’acquisto di un nuovo mezzo con tutte le problematiche annesse e connesse.

Per questo articolo abbiamo realizzato in questi giorni un video il quale mostra alcuni passaggi di un processo di alesatura dei cilindri di un motore a combustione interna (4 tempi). Si tratta della prima lavorazione di rettifica atta a ripristinare le condizioni ottimali dei cilindri (finitura di un alesaggio, tolleranze di forma, tolleranze dimensionali, rugosità). Successivamente, all’alesatura dei cilindri, fa seguito la finitura mediante levigatura (vedi l’articolo: Levigatura dei cilindri di un motore a combustione interna). L’alesatura e la levigatura servono a restaurare/ripristinare il monoblocco di un motore danneggiato per il quale si desidera aumentare la longevità evitando i costi legati alla sostituzione del veicolo.

L’alesatura è un’operazione di finitura di fori mediante asportazione di trucioli. Si tratta di una lavorazione di grande qualità la quale produce trucioli di spessore minimo. Cliccando sull’immagine in basso è possibile visionare il video che abbiamo girato durante il ripristino di un monoblocco di una moderna berlina europea. L’alesatura permette di raggiungere precisi parametri per quanto concerne la finitura di una foratura, l’alesaggio ad esempio di una boccola o di un cilindro motore, la tolleranza dimensionale richiesta, la tolleranza di forma richiesta, nonché la qualità di una superficie, ovvero la rugosità, richiesta. Uno speciale utensile per smussare permette di ricavare, sull’estremità superiore del cilindro, un invito per l’ingresso agevole dei pistoni e, in particolar modo, delle fasce, onde evitare la loro possibile rottura in fase di montaggio del manovellismo. Per il taglio può essere utilizzato un utensile a singolo tagliente al widia oppure un alesatore il quale è caratterizzato dalla presenza di più taglienti (generalmente presenti in numero pari e disposti asimmetricamente lungo la circonferenza) con angoli geometricamente determinati. Durante l’alesatura l’asportazione di trucioli si effettua combinando il movimento circolare cui è soggetta la testa porta mandrino (con la relativa testina porta utensile e, ovviamente, l’utensile) con il movimento di avanzamento della stessa lungo l’asse verticale del cilindro. I trucioli prodotti sono molto fini e assimilabili perlopiù ad una polvere. Ciò è dovuto all’asportazione minima di materiale che è solitamente pari a pochi decimi di millimetro (sul diametro) e varia a seconda del tipo di intervento e dei pistoni da rettifica previsti dal costruttore per ripristinare il motore. Un apposito fine corsa fermerà la macchina non appena sarà stata raggiunta l’estremità inferiore del cilindro. Questa fondamentale precauzione evita importanti danni qualora l’operatore venga distratto o abbia necessità di seguire altre lavorazioni in corso. Tutte le fasi dell’alesatura di un cilindro si ripetono sistematicamente e con estrema precisione per tutti i cilindri di un monoblocco. L’omogeneità delle condizioni dei cilindri è fondamentale al fine di garantire il funzionamento regolare del motore. Le riprese che si susseguono nel video che abbiamo girato mostrano l’avanzamento dell’utensile e della relativa zona alesata; nelle inquadrature dall’alto si osserva la linea di taglio. Nel caso del monoblocco rettificato durante la realizzazione del video sono stati asportati 0,5mm di materiale sul diametro secondo le specifiche fornite dal costruttore. Generalmente l’adozione di oli lubrificanti da taglio migliora la finitura della superficie da lavorare, riduce l’usura dei taglienti e prolunga la vita utile degli utensili, tuttavia materiali come la ghisa a grafite lamellare devono essere alesati a secco. Per l’ultimo cilindro da alesare abbiamo scelto una suggestiva inquadratura dal basso che permettesse di apprezzare la testina portautensile, ed il relativo utensile, in azione. E’ intuitivo comprendere come la corretta centratura della testina permetta di rispettare le tolleranze di forma, mentre il corretto posizionamento dell’utensile permette di rispettare le tolleranze dimensionali. L’esperienza gioca un ruolo fondamentale affinché si ottengano risultati di assoluta precisione in grado di favorire il corretto funzionamento del motore allungandone tra l’altro la vita utile.

Il video è stato realizzato a cura di Ancona Rettifiche e ralph-dte.eu che ne detengono il diritto d’autore. Per informazioni legate alla necessità di restaurare/revisionare un motore potete contattare l’officina meccanica di precisione “Ancona Rettifiche” al numero 071/7108210; per informazioni di carattere teorico e tecnologico potete utilizzare i contatti presenti su questo sito.

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Alesatura dei cilindri di un motore a combustione interna

Alesatura cilindri di un motore a combustione interna

Per guardare il video dell’alesatura clicca sull’immagine.
Image’s copyright: www.ralph-dte.eu
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Il modello della crescita costante e continua non esiste

Rubrica: Crisi, osservazioni e riflessioni

Titolo o argomento: Un sinusoide rappresenta meglio i cicli del mercato

Crescita, crescita, crescita… quante volte senti ripetere fino alla noia questo termine? A forza di sentirlo così spesso si ha come l’impressione che ci si sforzi affinché la crescita sia perenne, eppure qualcosa non torna. Crescere in modo costante e continuo non è logicamente possibile perchè ciò equivarrebbe ad affermare che puoi riempire una scatola all’infinito o che il pianeta terra disponga di risorse infinite e che quindi ci sarà sempre più petrolio, sempre più materie prime, sempre più risorse idriche e così via. “Nulla si crea, nulla si distrugge, ma tutto si trasforma – Antoine Laurent de Lavoisier, chimico, biologo, filosofo, economista francese, 1743-1794”. Il totale di quello che “è” è sempre il medesimo all’interno del sistema in cui viviamo (e quindi almeno all’interno del nostro pianeta), ciò che cambia è la forma sotto cui si presenta. Preziose materie prime, ad esempio, giacciono in milioni di discariche presenti nel mondo ed in una forma che non è utile all’uomo e, anzi, danneggia l’ambiente. Purtroppo chi vive da padrone questa scena è interessato solo al presente, al proprio presente, e ignora le conseguenze di scelte opportunistiche.

Allo stesso modo l’economia funziona come una scatola o tutt’al più come un insieme di scatole che scambiano i loro contenuti a vicenda (vedi l’articolo: La nazione come il Monopoly). Matematicamente, per offrire la “sensazione” che la crescita sia, o debba essere, costante e continua, vi è un unico modo: ignorare il fatto che mentre un sotto-sistema si arricchisce, un altro sotto-sistema si impoverisce. Il denaro si trasferisce, non si moltiplica. Il denaro si muove su intuizioni, su speculazioni, sulla conoscenza anticipata di preziose informazioni, ma non può essere moltiplicato. Moltiplicarlo equivarrebbe a svalutarlo, immettere moneta aggiuntiva porta inflazione certa. Così per rendere questo fenomeno meno surreale, si “generano crisi” che hanno lo scopo di alimentare le speculazioni e di indurre il pensiero che se non ci fosse stato un momento negativo per i mercati, la crescita sarebbe continuata normalmente come in precedenza. In realtà la crisi è diretta conseguenza della crescita, mentre la sensazione di “ri”crescita è proprio la diretta conseguenza dei danni causati da una crisi molto più calcolata di quanto si possa immaginare. La crescita è fittizia, si tratta di una grande partita di Monopoly in cui ogni giocatore che esce rimette in circolo nel sistema quello che aveva (liquidità, proprietà, operazioni, imprese, capitali di varia natura). Ciò che perde il giocatore uscente diventa di proprietà di chi ha innescato il fenomeno o di coloro i quali, ignari, fanno parte di un sistema, che anche se per ora li ha risparmiati, prima o poi potrebbe colpirli senza pietà alcuna.

Non si parla del fatto che in Italia vi è un suicidio al giorno tra i disoccupati e, un suicidio ogni quattro giorni tra gli imprenditori in grossa difficoltà. Ognuna di queste scomparse causate dalla crisi è un tornaconto per chi doveva mantenere e offrire servizi al singolo individuo (disoccupati, cassintegrati, dipendenti in mobilità, imprenditori in difficoltà, ecc.) e per chi trova ora sulla scena un concorrente in meno (ad es. l’imprenditore che non ha retto). Meno aziende producono il bene x, più opportunità di crescita ci sono per le aziende che resistono più a lungo. Attenzione però, questo non significa che il sistema è innescato dalle aziende che attualmente si trovano nella posizione migliore. Questo sistema è automatico, ce lo auto-induciamo quando crediamo al modello della crescita continua anziché a modelli basati sulla produzione e lo scambio a breve distanza, sulla filiera corta e sullo scambio a livello mondiale dei soli beni particolari, tipici e caratteristici per ragioni naturali, culturali e di specializzazione. Il gioco economico termina quando l’unico concorrente rimasto non può più crescere da solo… crescere rispetto a chi, crescere alimentato da cosa?. La crisi economica rimescola le carte e ridistribuisce prima di tutto l’operato dei più piccoli verso l’alto, dopodiché non fa eccezioni e guarda le grandi realtà con un occhio a dir poco goloso.

Il fenomeno delle crisi economiche è ciclico, tuttavia non può essere assimilato ad una normale onda sinusoidale in quanto ciò equivarrebbe ad affermare che, una volta terminata una crisi economica, le condizioni possano tornare al pari della migliore situazione precedente. Ovviamente così non è, si verificano infatti delle perdite le quali, in fase di ri-crescita, portano a massimi relativi (o picchi) via via più bassi. Il fenomeno della crisi economica ciclica può pertanto essere assimilato ad un’onda sinusoidale smorzata. Via via che l’onda si affievolisce l’unico modo per riportarla ad uno stato accettabile aumentandone l’ampiezza (riferimento alla zona rossa del grafico riportato in basso) consiste nell’immettere nel sistema capitali, risorse, innovazione… Ora la logica domanda è: “Dove prenderli?”. Solamente in seguito a fenomeni storici disastrosi quali ad esempio la seconda guerra mondiale, si è assistito ad un reale boom economico di crescita il quale tuttavia si è fondato soprattutto sulla larga disponibilità di manodopera a basso costo e sulla conseguente competitività dei prezzi sul mercato.

Einstein diceva che tutto dovrebbe essere fatto nel modo più semplice, ma non è semplice. Infatti per fare le cose nel modo più semplice, dobbiamo molto spesso farle prima in modo più complicato e, in seguito a numerosi fallimenti o risultati insufficienti, o parzialmente soddisfacenti, renderci conto di cosa complicava il meccanismo di funzionamento e di cosa togliere, cosa lasciare, cosa modificare, cosa aggiungere. E’ sbagliando che un bambino impara, è cadendo che capisce come muovere una gamba davanti all’altra, come mantenere l’equilibrio; una volta imparato poi si ritiene semplice, intuitivo e scontato il fatto di saper camminare anche se in realtà è stato difficilissimo capire come fare, come rendere semplice e naturale un’azione. Non esiste la crescita costante e continua, può esistere una sensazione di questo concetto instabile e fortificata dall’informazione errata che circola. Esiste invece un modello che attualmente è ben rappresentabile con un’onda, e come un’onda di mare può portare via tutto.

Link correlati

Differenze. Dalle leggi della natura al denaro
La nazione come il Monopoly
Questione di punti di vista

Crisi economica ciclica - Fenomeno assimilabile ad un'onda sinusoidale smorzata

Il fenomeno delle crisi economiche è ciclico, tuttavia non può essere assimilato ad una normale onda
sinusoidale in quanto ciò equivarrebbe ad affermare che, una volta terminata una crisi economica le
condizioni possano tornare al pari della migliore situazione precedente. Ovviamente così non è, si
verificano infatti delle perdite le quali, in fase di ri-crescita, portano a picchi via via più bassi. Il
fenomeno della crisi economica ciclica può pertanto essere assimilato ad un’onda sinusoidale smorzata.
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Numeri complessi – parte seconda

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: I numeri complessi – parte seconda

Nell’articolo “Numeri complessi” abbiamo introdotto in modo banale l’utilità di questa tipologia di numeri, ora complicheremo leggermente le cose al fine di introdurre concetti un po’ più approfonditi. Su Rn (con n≥3) non è possibile definire un prodotto che, assieme alla somma usuale, lo renda un campo (vedi l’articolo: “Assiomi campo ed assiomi spazio vettoriale“). Su R2 invece ciò è possibile tramite il campo C dei numeri complessi. E’ importante ricordare che ogni numero complesso non nullo possiede esattamente n radici n-esime distinte, questo significa che un polinomio di grado n, su C, ammette sempre esattamente n radici, cosa che non accade sempre su R (vedi il Teorema fondamentale dell’algebra). Introduciamo di seguito alcune definizioni utili.

Premessa

Modulo (o norma) ρ del vettore v

Se v=(x,y) appartenente ad R2 è un vettore non nullo applicato nell’origine, il suo modulo o norma (ovvero la sua lunghezza) è il numero positivo: ρ=|v|=√(x2+y2). Attenzione perchè su alcuni testi trovate il modulo ed il valore assoluto espressi con il medesimo simbolo, mentre su altri testi trovate il valore assoluto espresso come segue |x| ed il modulo (o norma) espresso con la doppia barretta ||v||.

Argomento θ del vettore v

Si tratta di quell’angolo θ appartenente a [0, 2π) che viene misurato in radianti e per il quale x = ρcosθ e y = ρsinθ (vedi l’articolo: “Coordinate polari“).

Prodotto in coordinate polari e coordinate cartesiane

Vedi l’articolo: “Coordinate polari“.

I numeri complessi

Come si descrive un numero complesso

Il numero complesso “z” si descrive come segue “z = x+iy” dove “x” è la parte reale (Re z) e “y” è il coefficiente (numero reale) della parte immaginaria “iy” (Im z) di “z”. La lettera “i” rappresenta invece l’unità immaginaria. Spesso trovate il numero complesso “z” descritto come segue “z = a+ib”, ovviamente è la medesima cosa. Vale la pena osservare che:

a+i0 è un numero reale
0+ib è un numero immaginario puro
a+ib è un generico numero complesso

In numeri

z = √-1 non è altro che il numero complesso “i” ovvero l’unità immaginaria i = √-1, per definizione: i2 = -1 e, per analogia con i numeri reali, -i2 = -1 mentre -(i)2=+1 (attenzione alle parentesi). Ad esempio √-16 non è altro che √-1 · √16, ovvero i√16 e quindi 4i.

i·(-i) = 1
± i2 = -1
i3 = i2 · i = -i
i4 = i2 · i2 = 1

x2+1=0 ovvero x2=-1 ha come radici (soluzioni) x1=i e x2=-i che, dimostrazione banale, al quadrato danno entrambi il valore “-1”.

Per la cronaca, anche se si tratta di un concetto che va approfondito, riportiamo il valore della radice di i: √i = ±(1+i)/√2, infatti, elevando al quadrato il risultato otteniamo (ovviamente): [±(1+i)/√2]² = (1+i)²/2 = (1+i²+2i)/2 = (1-1+2i)/2 = i

Numero complesso immaginario puro

Quando la parte reale Re(z) = 0, ovvero a = 0, il numero immaginario z = ib si dice immaginario puro.

Complesso coniugato e coniugio

Il complesso coniugato di un numero complesso “z = a+ib” è il numero complesso z* = a-ib. L’applicazione che associa ad un numero complesso il suo coniugato si chiama coniugio.

La base canonica di C su R

Il campo C è uno spazio vettoriale di dimensione 2 su R, una sorta di R2 sotto altre vesti. La base canonica di C su R è data da [(1,0), (0,1)].

Unità moltiplicativa 1

Il vettore (1,0) della base canonica riportata al punto precedente è detto unità moltiplicativa di C e viene indicato semplicemente con 1.

Unità immaginaria i

Il vettore (0,1) della base canonica riportata poco sopra è detto unità immaginaria e viene indicato con i. Il prodotto i · i = i2 = (0,1) · (0,1) = (-1, 0) = -1 (vedi il prodotto di due numeri complessi di seguito).

Somma di due numeri complessi

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) per esempio i + i = (0, 1) + (0, 1) = (0+0, 1+1) = (0, 2)

Prodotto di due numeri complessi

(a,b) (c,d) = (ac-bd, bc+ad) per esempio i · i = (0, 1) · (0, 1) = (0 – 1, 0+0) = (-1, 0) = -1

Inverso di un numero complesso

1/(a+ib) = (a-ib)/((a+ib)·(a-ib)) = (a-ib)/(a2+b2) ovvero l’inverso di “z” è uguale al rapporto tra il “coniugato di z” (vedi la voce “complesso coniugato e coniugio” riportata precedentemente) e il “prodotto del numero complesso z per il suo coniugato” (ovvero il quadrato del suo modulo). Quindi 1/z = z*/z·z* = z*/|z|2. Per ottenere l’inverso di z, come nell’esempio all’inizio di questo paragrafo, è sufficiente moltiplicare e dividere, per a-ib, la quantità 1/(a+ib) ed eseguire le normali operazioni.

Inverso di “i”: 1/i = -i/1 dove “-i” è il complesso coniugato di “i” ed il numero 1 presente al “denominatore” è il quadrato del modulo di z = a+ib (in questo caso z=0+i1 ovvero z=i). Quindi l’inverso di “i” vale “-i”.

Il quadrato di un numero complesso

(a+ib)2 = (a+ib) · (a+ib) = (a2-b2) + i(2ab) il tutto calcolato normalmente membro a membro facendo attenzione al fatto che ib·ib vale -b2 in quanto i2 = -1 (spesso le prime volte si tende a non ricordarlo).

Modulo di un numero complesso

Il modulo di “z” è il numero reale |z| = √(x2+y2) oppure, se volete |z| = √(a2+b2), ovviamente è la stessa cosa. Il modulo non è altro che la distanza del generico punto P dall’origine, in questo caso il punto P viene rappresentato sul piano complesso o piano di Gauss. E’ utile notare che il modulo di “z” è uguale al modulo del suo complesso coniugato “z*”.

Il quadrato del modulo di un numero complesso

Moltiplicando “z = a+ib” per il suo coniugato “z* = a-ib” si ottiene a2+b2 che altro non è che il quadrato del modulo di z e quindi il quadrato di |z| = √(a2+b2). Ovviamente per modulo non si intende il valore assoluto, bensì la lunghezza, l’intensità di un vettore.

Scrittura di un generico numero complesso

Come abbiamo visto la base canonica di C su R è [(1,0), (0,1)] dove (1,0) si può scrivere semplicemente “1” e (0,1) non è altro che “i”, pertanto la base canonica di C su R può essere scritta come segue: (1, i). Questo ci permette di scrivere comodamente un generico numero complesso (a, b) come segue: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a · 1 + b · i = a + ib. Ricorda che per effettuare le normali operazioni troverai il numero complesso scritto nella forma z = x+iy mentre per la rappresentazione sul piano complesso o piano di Gauss sarà semplicemente (x, y).

“i” scritto in coordinate cartesiane e polari

Abbiamo detto, al paragrafo inerente l’unità immaginaria, che il vettore (0,1) della base canonica di C è detto unità immaginaria e viene indicato con “i”. In coordinate polari “i” ha un modulo e un argomento e, più precisamente, ha modulo 1 e argomento π/2, ovvero (1, π/2).

Un numero complesso può essere scritto in forma trigonometrica e, da z = x+iy, diventa z = ρcosθ + i ρsinθ in quanto, come abbiamo visto nella premessa, x = ρcosθ e y = ρsinθ. Da ciò è possibile notare che x2+y2 = ρ2cos2θ + ρ2sin2θ = ρ2 (cos2θ + sin2θ) = ρ2 · 1 (per via dell’equazione fondamentale della trigonometria). Da ρ2 = x2+y2 ritroviamo ρ=|v|=√(x2+y2) ovvero il modulo (e tutto torna).

Radice (o zero)

Se “z” è un numero complesso qualsiasi (diverso da 0) ed “n” è un numero qualunque maggiore di zero, allora la radice ennesima di “z” (n√z) è il numero complesso (se esiste) “w” tale che “wn = z” e quindi “n√z = w”. Questo significa che l’equazione nell’incognita “w” descritta da “wn = z” ha esattamente “n” soluzioni.

Teorema fondamentale dell’algebra

Esso afferma che un’equazione del tipo a0xn + a1xn-1 + … + an = 0, dove a0, a1, an sono dei numeri complessi qualsiasi, ha sempre esattamente n radici (vedi il paragrafo precedente).

Molteplicità

Le radici (vedi i due paragrafi precedenti) devono essere contate con la loro molteplicità… cosa vuol dire? Se abbiamo un polinomio, nella variabile z, a coefficienti complessi e se z0 è una sua radice (o zero, o soluzione), allora possiamo dire che z0 è una radice di molteplicità “m” (appartenente ai numeri naturali) se il polinomio dato è divisibile per il polinomio (z – z0)m ma non è divisibile per il polinomio (z – z0)m+1.

Ad esempio il polinomio p(z) = (z-i)2·(z+i) ha radici “z01 = i” e “z02 = -1″ pertanto se divido il polinomio per (z-z0)m e quindi, nel caso della prima radice, per (z-i)m mi accorgo che al massimo la molteplicità m può valere 2, quindi la radice “i” ha molteplicità 2. Se eseguo la stessa operazione con la seconda radice, ovvero con “-1”, mi accorgo che la m può valere al massimo 1, quindi la radice -1 ha molteplicità 1.

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Dietro le limitazioni evolutive della F1: dai diffusori della Brawn GP agli scarichi soffiati della Red Bull Racing

Rubrica: Curiosità della tecnica da corsa

Titolo o argomento: Questione di soffi
Segue dagli articoli:
Dietro le limitazioni evolutive della F1
Dietro le limitazioni evolutive della F1: le Mercedes W196 a ruote coperte integralmente carenate
Dietro le limitazioni evolutive della F1: la Lotus ad effetto suolo ed il ventilatore della Brabham

Il diffusore della Brawn GP.

Fu oggetto di molteplici controversie nella stagione 2009, esso presentava alla base dell’estrattore una sagomatura centrale che nascondeva due aperture simmetriche. Tali aperture avevano il compito di ridurre i disturbi legati al salto di pressione che si verifica a valle delle ruote motrici. I flussi d’aria, che avvolgevano la zona laterale bassa ed inferiore delle pance della monoposto, trovavano così uno sfogo attraverso il quale, per l’effetto d’aspirazione dell’estrattore, raggiungevano il fondo della vettura migliorando la fluidodinamica dell’ala posteriore, offrendo una minore resistenza all’avanzamento, una maggiore stabilità e permettendo così alla vettura di raggiungere velocità più elevate in curva. Il progetto sfruttava una falla presente nel regolamento del 2009.

Le connessioni tecniche “motore-aerodinamica”: gli scarichi soffiati.

Vi è poi un curioso caso in cui l’interazione tra la gestione del motore e l’aerodinamica può generare particolari effetti che migliorano la stabilità del veicolo, stiamo parlando degli “scarichi soffiati”. L’idea ebbe origine nel 1983 (anno di introduzione del “fondo piatto”) in seguito al divieto di realizzare vetture con struttura ad ala rovesciata e minigonne: i tubi di scarico terminavano il loro percorso nei profili estrattori. Lo scopo era quello di far soffiare i gas di scarico lungo una superficie deportante al fine di garantire una maggiore stabilità del veicolo e quindi una maggiore velocità di percorrenza delle curve. I gas di scarico di una Formula Uno, infatti, alla sorprendente velocità di 400 km/h (dato stimato), cedono energia cinetica al flusso d’aria che percorre il fondo della vettura in direzione diffusori. Agli esordi, però, il carico aerodinamico aggiuntivo che si veniva a generare, era oltremodo discontinuo e gli effetti erano positivi solo quando il motore si trovava in prossimità delle condizioni di pieno carico. L’ingresso curva risultava penalizzato non essendovi alcuna azione sull’acceleratore ed i piloti trovavano questa soluzione alquanto disorientante. L’idea comunque non fu abbandonata e, negli anni a seguire, andò incontro ad ulteriori sviluppi. In particolar modo, nelle ultime due stagioni, la Red Bull, tramite opportune post combustioni che hanno luogo all’interno dei collettori di scarico, è riuscita a generare un flusso di gas di scarico verso i diffusori anche in fase di rilascio limitando la differenza di carico aerodinamico tra le situazioni di accelerazione e di decelerazione. Un’abile mossa, che sfruttata in qualifica, ha permesso al giovane plurititolato Sebastian Vettel di partire quasi costantemente in pole position. L’idea è stata ripresa anche dai team avversari ma con scarsi risultati; non è poi così azzardato ipotizzare che l’intero progetto di Adrian Newey sia stato ideato in funzione di questa soluzione tecnica. Nonostante la soluzione non comporti particolari rischi per la sicurezza (la vettura, così modellata, non può essere definita una “costruzione pericolosa”) la FIA ha preferito bandirla dal regolamento. Viene da sé il pensiero che, privare una squadra, relativamente giovane ed assetata di vittorie come la Red Bull, di un suo strumento vincente, possa essere una astuzia per mescolare le carte in tavola offrendo un campionato più curioso. Il business non ha sentimenti e non prova affetto per chi realizza soluzioni che premiano a lungo una sola squadra causando eccessive difficoltà per i rivali. La superiorità della Red Bull, nelle stagioni 2010-’11, è stata tale da portare gli appassionati a dare per scontata la vittoria anche nel mondiale 2012 ma, in Formula Uno si sa, nulla deve esser dato per scontato.

Scarichi soffiati Red Bull Racing

Image’s copyright: MASMAN Communications
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Fotovoltaico: errori macroscopici di installazione dell’impianto

Rubrica: DIY – Impianti

Titolo o argomento: Convivenza “piante – campo fotovoltaico”

In una nazione dove le rinnovabili non sono incentivate a dovere è facile accusare carenze di esperienza e cadere in errori macroscopici e, a dir poco, grossolani. E’ il caso di diversi campi fotovoltaici che sto notando in giro per le periferie italiane. In diversi casi questi vengono montati completamente a terra senza lasciare quindi la benché minima possibilità di intervenire agevolmente sulle piante le quali, nonostante siano state tagliate per installare l’impianto, prima o poi dovranno ricrescere… o no? Personalmente mi chiedo come sia possibile non riuscire ad effettuare il banale ragionamento che segue: se installo l’impianto a terra, prima o poi le piante ricresceranno e non sarà affatto facile tagliarle; l’installazione “sopraelevata”, oltre a consetire una cura del campo più rapida ed efficace, può consentire il proseguimento della coltivazione dello stesso anche se si genera una situazione di perenne ombra. L’impianto visibile in foto, dopo un breve periodo di tempo intercorso dall’installazione, è stato parzialemente coperto dalle piante che vi sono cresciute sotto per poi raggiungere la superficie. A distanza di un paio di settimane da questo scatto, la situazione era notevolmente peggiorata. I lavori per liberare l’impianto sono stati difficoltosi, hanno richiesto tempo/denaro e dovranno essere ripetuti a breve e con regolarità. Ciò che si spende (e si spenderà) per gli interventi di manutenzione poteva essere investito per costruire una struttura sopraelevata di altezza differente in relazione alla necessità dell’operatore di passarvi sotto a piedi, con un normale tagliaerba, o a bordo di una macchina agricola per lavorare il campo e continuare a renderlo produttivo.

Errori macroscopici installazione impianto fotovoltaico

Le piante “emergono” da sotto l’impianto fotovoltaico posto direttamente a terra e vanno a riprendersi
i raggi solari a scapito del corretto funzionamento dell’impianto stesso. Una soluzione sopraelevata
può agevolare la convivenza di entrambi, nonchè il lavoro di manutenzione da parte dell’operatore.
Image’s copyright: ralph-dte.eu
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Che cos’è la termoelettricità?

Rubrica: Energia

Titolo o argomento: Dal calore alla corrente e viceversa

La termoelettricità (branca della fisica) studia le interazioni fra gradienti di temperatura e differenze di potenziale elettrico in materiali liquidi e solidi. Vi sono tre effetti termoelettrici i quali, in assenza di un campo magnetico, interessano la diffusione del calore e dei portatori di carica: l’effetto Seebeck (1822), l’effetto Peltier (1834) e l’effetto Thomson (1854). Con la voce “portatori di carica” si intendono gli elettroni, i quali hanno carica elettrica negativa, e le lacune le quali, in valore assoluto, hanno la stessa carica elettrica degli elettroni ma sono di segno positivo. L’effetto termoelettrico è un fenomeno alquanto interessante che si manifesta nei conduttori (o nei semiconduttori) elettrici quando vengono a trovarsi in un gradiente di temperatura. Questo significa che un capo del conduttore si trova ad una determinata temperatura “T1” e l’altro capo si trova ad una temperatura “T2” superiore o inferiore a “T1”. La direzione e l’intensità delle variazioni di temperatura, e quindi il gradiente della stessa, tende a diffondere i portatori di carica mobili dei conduttori (o dei semiconduttori) lungo il materiale. Dai portatori di carica mobili dipende la conducibilità elettrica (o conduttività), essi tendono a propagarsi dalla zona a temperatura più alta verso la zona a temperatura più bassa. Quando la corrente è nulla (ci troviamo quindi all’equilibrio elettrico) si genera una differenza di potenziale, tra la zona calda e la zona fredda, che contrasta la diffusione di elettroni, o di lacune, legata al gradiente termico. Negli articoli che seguiranno riporteremo descrizioni semplificate degli effetti: Seebeck, Peltier e Thomson.

Continua…

Link correlati

Grandezze scalari e grandezze vettoriali
Gradiente di uno scalare

Cella di Peltier

Cella di Peltier. La cella in questione proviene da un frigorifero termoelettrico ed è oggetto di alcuni
curiosi esperimenti di laboratorio. Per cortesia di Berardi-Store.eu.