Metodi di dimostrazione logico matematica

Rubrica: Utilità di ingegneria

Titolo o argomento: Dimostrare una tesi

Se questa mattina vi siete alzati con la voglia di intrecciare il vostro cervello, questo è l’articolo che fa per voi… Premesso che con il termine “ipotesi” si intende il presupposto ad un ragionamento e che con il termine “tesi” si intende una proposizione di cui si desidera accertare la veridicità, possiamo riportare i tre principali metodi di dimostrazione accompagnati da esempi che spero di aver scritto in modo comprensibile 🙂

Dimostrazione diretta

Si tratta del metodo che solitamente risulta più spontaneo e naturale per la mente. Consiste nel supporre vera l’ipotesi e, tramite ragionamenti, dedurre la tesi. La via più intuitiva per dimostrare affermazioni quali “A implica B”.

Es. Premesso che il paraurti sia in tinta con l’auto allora, se il paraurti è rosso, anche l’auto è rossa.

Dimostrazione per assurdo

Trattasi di un metodo di dimostrazione che suppone contemporaneamente vere l’ipotesi “A” e la negazione “non B” della tesi per poi giungere mediante ragionamenti ad una contraddizione. La contraddizione, ossia la presenza di qualcosa di falso, fa cadere la supposizione assurda che “A” e “non B” possano essere contemporaneamente vere. Quindi se “A” è vera, anche “B” deve esserlo.

Es. Premesso che il paraurti sia in tinta con l’auto allora, se il paraurti è rosso, l’auto non è rossa. Se il paraurti è rosso e se il paraurti è in tinta con l’auto, allora deve essere per forza dello stesso colore dell’auto. Se l’auto è arancione ed il paraurti è rosso, allora il paraurti non è in tinta con l’auto. Quindi se il paraurti è in tinta con l’auto ed è rosso, per forza l’auto deve essere rossa.

Dimostrazione inversa

Tale tipo di dimostrazione suppone vera la negazione “non B” della tesi e, sempre mediante ragionamenti, deduce la negazione “non A” dell’ipotesi. Come per la dimostrazione diretta (dove “A” implica “B”) se “non B” implica “non A”, allora la presenza ad esempio della situazione in cui “A” implica “non B” equivarrebbe a dire che “A” e “non A” sono vere contemporaneamente… il che è impossibile.

Es. Se è vero che l’auto non è rossa, allora anche il paraurti non è rosso in quanto abbiamo supposto il paraurti essere in tinta con l’auto. Se l’auto che non è di colore rosso implica che il paraurti non è di colore rosso, allora la situazione in cui il paraurti rosso implica che l’auto non è rossa equivale a dire che il paraurti rosso e il paraurti non rosso sono affermazioni vere contemporaneamente… il che è illogico.