Rubrica: Officina della Matematica
Titolo o argomento: Introduzione alle matrici
L’articolo che segue “ovviamente” non sostituisce le importanti nozioni riportate in un ottimo libro, quanto riportato ha il solo ed unico scopo di fungere da memorandum di rapida esplorazione. Spetta poi al lettore approfondire debitamente i concetti di cui necessita. Innanzitutto ricordiamo che:
con Mm,n si intende l’insieme delle matrici con m righe ed n colonne
con Mm,n(R) si intende l’insieme delle matrici a coefficienti Reali
con Mm,n(C) si intende l’insieme delle matrici a coefficienti complessi
con An si intende la colonna n-esima della matrice Mm,n
con Am si intende la riga m-esima della matrice Mm,n
con GLn si intende l’insieme delle matrici invertibli di ordine n
con In si intende la matrice identità (o se vogliamo identica o, ancora, unità)
con AT si intende la matrice trasposta
con AH si intende la matrice trasposta coniugata
Una matrice è una tabella rettangolare di numeri con “m” righe ed “n” colonne. Il numero “aij” è l’elemento posizionato alla riga “i” in corrispondenza della colonna “j”. Una matrice è un importante strumento matematico che concretizza la complessa teoria matematica ed è ampiamente utilizzato in diverse branche dell’ingegneria.
Una matrice quadrata è una matrice che ha tante righe quante colonne. Una matrice quadrata “n x n” è detta di ordine n. Una matrice quadrata può essere “semplificata” e trasformata in una matrice triangolare superiore grazie ai procedimenti previsti dall’eliminazione di Gauss.
Una matrice quadrata diagonale è una matrice che ha tutti gli elementi nulli eccetto quelli presenti sulla diagonale principale ovvero la diagonale che va dall’angolo in alto a sinistra a quello in basso a destra.
Una matrice simmetica è una matrice quadrata A a coefficienti reali tale per cui la sua trasposta AT è uguale alla matrice iniziale, ovvero A = AT.
Una matrice antisimmetrica è una matrice quadrata A a coefficienti reali tale per cui: AT = -A.
Una matrice identica è una matrice che ha sulla diagonale princiapali tutti valori pari a 1 e sulle restanti posizioni tutti valori pari a 0.
Una matrice completa è una matrice che al suo interno comprende la matrice dei coefficienti e la matrice dei termini noti.
Una matrice triangolare superiore è caratterizzata dall’avere tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale sono nulli; viceversa si definisce matrice triangolare inferiore.
Una matrice quadrata singolare ha almeno uno dei suoi pivot nullo, mentre una matrice quadrata non singolare ha tutti i pivot non nulli.
Una matrice a scala è una matrice “m x n” i cui pivot (posizionati a scala) sono tutti non nulli. Matrici qualunque possono essere semplificate tramite riduzione a scala, ovvero tramite un procedimento simile all’eliminazione di Gauss.
Una matrice trasposta è una matrice in cui vengono scambiate le righe con le colonne. La prima riga diventa la prima colonna, la seconda riga diventa la seconda colonna e così via. La matrice trasposta della matrice A si indica con AT.
La matrice coniugata di A è la matrice à appartenente all’insieme delle matrici a coefficienti complessi, ovvero a Mm,n(C), i cui elementi sono i “coniugati” degli elementi di A. Per sapere cosa sono gli elementi coniugati è necessario studiare i numeri complessi (potrebbe interessarti leggere gli articoli: I numeri complessi – I numeri complessi parte seconda).
La matrice trasposta coniugata (o aggiunta) AH (appartenente all’insieme delle matrici a coefficienti complessi) di A è la matrice trasposta della coniugata di A. La matrice A viene detta hermitiana quando A = AH, mentre viene detta anti-hermitiana quando AH = -A.
Una matrice invertibile è una matrice A appartenente a Mm,n(K) per la quale esiste una matrice B appartenente a Mm,n(K) tale che A·B = B·A = In (dove In sta per matrice identica). La matrice B, inversa di A, è unica e si indica con A-1. L’insieme delle matrici invertibili di ordine n si rappresenta con GLn.
Una matrice di cambiamento di base (o matrice di cambiamento di coordinate) è una matrice di passaggio dalla base B alla base B’, tale matrice si indica con B. La matrice di cambiamento di base B contiene per colonne le coordinate dei vettori della nuova base B’ rispetto alla vecchia base B. La matrice di cambiamento di base B-1 è ovviamente la matrice di passaggio dalla base B’ alla base B (direzione inversa alla precedente), essa contiene per colonne le coordinate dei vettori della base B rispetto alla base B’.
Una matrice associata all’applicazione lineare T… – In preparazione
Le matrici quadrate simili A e A’ sono tali solo se esiste una matrice B invertibile tale per cui è valida la relazione: A’ = B-1AB.
La matrice minore (o minore complementare) è la matrice che si ottiene cancellando la riga i e la colonna j di una matrice quadrata durante il calcolo del determinante. La matrice minore si indica con Aij dove “i” e “j” indicano rispettivamente la riga e la colonna che sono state eliminate per il calcolo del determinante (es. A13 se è stata cancellata la riga 1 e la colonna 3).
Link correlati
