Autore: Raffaele Berardi

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Teorema della selezione

Rubrica: Una frase per teorema

Titolo o argomento: Teorema della selezione

Consideriamo uno spazio vettoriale V e un sistema di vettori (v1, v2, …, vk) contenuto in V. Possiamo affermare che esiste un procedimento canonico di selezione che permette di ottenere una “sottolista L” che ha le seguenti proprietà:

1. I vettori della “sottolista L” sono linearmente indipendenti.
Vedi l’articolo: Combinazione lineare, span, lineare dipendenza – indipendenza

2. Lo spazio generato dai vettori della “sottolista L” è uguale allo spazio generato dai vettori di V.
Vedi gli articoli: Sistema di riferimento affine, base e span | Sistema di generatori, spazio e sottospazio vettoriale

Dimostrazione

Abbiamo ad esempio i vettori (v1, v2, v3, …, vk) e non sappiamo quali di questi resterà nella sottolista. Lo spazio che generano è L(v1, v2, v3, …, vk) = S contenuto in V.

Se v1=0 allora il vettore viene escluso. Se v1≠0 allora lo chiamiamo vi1 e lo inseriamo come primo elemento della sottolista.

Se v2 appartiene già alla lista L(v1) allora viene escluso. Questo significa che il vettore v2 è linearmente dipendente rispetto a v1. Se v2 non appartiene già alla lista L(v1) entra a farne parte. Questo significa che il vettore v2 è linearmente indipendente rispetto a v1.

Se v3 appartiene già alla lista L(v1, v2) allora viene escluso. Questo significa che vi è un rapporto di lineare dipendenza tra v3 e gli altri due vettori. Viceversa se v3 non appartiene alla lista L(v1, v2) allora viene aggiunto in quanto i 3 vettori sono linearmente dipendenti e generano spazio nuovo.

E così via…

I vettori in più che ho cancellato non generano spazio in più, ma lo stesso spazio, ad ogni momento della selezione. Per convenzione la sottolista, ed i suoi elementi, verranno indicati come segue: L˜ = (vi1, vi2, vi3).

Esempio

Se ad esempio abbiamo 3 vettori λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 ed il vettore v3 ha le seguenti caratteristiche:

v3 = αv1 + βv2

v3 appartiene alla lista L(v1, v2)

ovvero il vettore v3 è linearmente dipendente rispetto alla lista L(v1, v2),

allora dalla combinazione lineare λ1v1 + λ2v2 + λ3v3 otteniamo λ1v1 + λ2v2 + (λ3α)v1 + (λ3β)v2.

All’ultimo membro ho semplicemente moltiplicato λ3 per v3 = αv1 + βv2 ed ho messo in evidenza rispettivamente v1 e v2 per arrivare a:

(λ1+λ3α)v1 + (λ2+λ3β)v2

da cui deduco che non ho generato nuovo spazio tramite il vettore v3.

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Esempi di biomimetica

Leonardo da Vinci progettò diverse macchine studiando attentamente la natura. Ciò perchè l’evoluzione naturale procede in accordo con le sue stesse leggi e compatibilmente alle sue possibilità e limitazioni. Nell’articolo che segue riportiamo alcuni esempi di materiali, tecnologie e strutture che sono stati realizzati imitando la natura per ottenere caratteristiche superiori. Stiamo parlando quindi di esempi di “biomimetica” (vedi l’articolo: Che cos’è la Biomimetica?).

Le note fibre sintetiche come il nylon sono ispirate alla seta naturale. Il velcro è ispirato alla forma uncinata dei semi vegetali. Imitando le zampe del geco sono stati realizzati adesivi nanostrutturati.

Ispirandosi alla superficie dei fiori di loto è stato possibile realizzare superfici autopulenti. La struttura superficiale dei fiori di loto infatti è molto fine ed è rivestita di cristalli di cera idrofobica di diametro pari a circa 1 nanometro (1 milionesimo di millimetro). Su una foglia di loto solo il 2-3% di una goccia d’acqua è realmente a contatto con la foglia stessa. La nanostruttura ruvida delle foglie di loto è essenziale affinché l’acqua non scivoli ma rotoli sulla superficie, ciò le permette di portar via con sé una quantità nettamente maggiore di sporco ed impurità.

I più recenti rivestimenti di superficie, già usati in ingegneria aerospaziale per ridurre l’attrito idrodinamico, hanno la struttura che imita quella dell’epidermide dei grandi pesci. Un esempio evidente si ha nel campo del nuoto agonistico dove gli atleti indossano tute speciali per migliorare le proprie prestazioni. La rugosità della pelle dello squalo, ad esempio, offre una migliore portanza nel nuoto.

Il muco che riveste la pelle di alcuni animali acquatici (vedi il barracuda) ha una doppia funzionalità: agisce da barriera contro la salinità dell’acqua ed opera una riduzione della drag force (forza di trascinamento). Questa proprietà è stata sfruttata per produrre additivi polimerici artificiali i quali, immessi nelle tubazioni di oleodotti in Alaska, hanno permesso di ridurre del 30% la potenza richiesta dalle pompe per il sostentamento dell’olio.

La vernice autoriparante, oggi disponibile su diverse berline di lusso, consiste in un composto formato da un polimero capace di rigenerarsi se sottoposto alla radiazione ultravioletta presente nella luce solare. Combinando il poliuretano con una molecola di chitosano, un carboidrato che si trova nella corazza dei crostacei (granchi e aragoste), i ricercatori hanno ottenuto proprietà auto-riparanti. Quando il materiale è danneggiato, la resina viene rilasciata nella frattura ove solidifica al contatto con un agente indurente presente nel materiale. Questo, una volta esposta la superficie alla radiazione ultravioletta, crea legami di reticolazione al fondo della frattura sanandola in un ridotto arco di tempo.

L’atomo di carbonio, la molecola dell’acqua, le proteine, le cellule, i tessuti, gli esseri umani e tutte le creature viventi usano il principio della tensegrità (ovvero minimo sforzo per massimo rendimento) per la loro struttura. Questo significa che la stabilità delle loro strutture non dipende dalla resistenza di ogni singolo componente, bensì dal modo in cui l’intero sistema distribuisce e bilancia le sollecitazioni. Il termine tensegrità (tensione + integrità) sta ad indicare la stabilità a tensione e compressione ottenuta mediante la distribuzione ed il bilanciamento delle forze all’interno della struttura. Una cupola geodetica, ad esempio, è in grado di sopportare un dato carico con il minimo impiego di materiale, pur essendo essenzialmente formata da montanti rigidi che compongono triangoli, pentagoni, ecc., ognuno dei quali è in grado di resistere sia a trazione che a compressione.

Le particolari performances proprie dei materiali biologici sono il frutto di una lenta e severa selezione naturale che opera nell’intento di trovare il miglior materiale disponibile per una precisa funzione. Contrariamente a quanto si possa pensare, la tendenza è quella di dotare un organismo di un numero limitato di componenti o principi che possano svolgere differenti ruoli. Ad esempio il collagene di tipo I presenta una diversa morfologia a seconda della funzione che svolge nei vari tessuti. Questa proteina mostra bassa rigidità ed elevata deformazione, tipica dell’elastomero, nei tendini. Nella cornea offre proprietà ottiche come la trasparenza. Infine nell’osso, dove è associato a cristalli di idrossiapatite (vedi l’articolo: Materiali compositi: le ossa), conferisce durezza e resistenza. Molti e molti più esempi si potrebbero fare in merito alla biomimetica, tuttavia, per semplicità, ci siamo limitati a riportarne solo alcuni tra quelli più facilmente comprensibili.

Note. Potrebbe esserti utile leggere l’articolo “Fattore di moltiplicazione” per valutare a quanto corrisponde 1 nanometro (nm).

superfici_autopulenti_imitano_fiori_loto.jpg

Solo il 2-3% della superficie di una goccia d’acqua entra in contatto con la superficie della foglia di loto.
La nanostruttura ruvida delle foglie di loto è essenziale affinché l’acqua non scivoli ma rotoli sulla superficie,
ciò le permette di portar via con sé una quantità nettamente maggiore di sporco ed impurità.
Su questo principio sono state sviluppate superfici autopulenti artificiali.
Image’s copyright: bad & heizung (www.bad-heizung.de)
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Che cos’è la biomimetica?

Biomimetica (dal greco “βιός μίμησις”) significa imitazione della vita ovvero imitazione della natura. La biomimetica è una scienza che, osservando la natura, trae spunti utili a riprodurre artificialmente strutture, forme e materiali. Molte sono le discipline che traggono giovamento dalla biomimetica a partire dall’ingegneria, la chimica, la fisica, la biologia, la scienza dei materiali… La biomimetica permette di ottenere un elevato livello di efficienza, sostenibilità e integrazione con l’ambiente, perché le tecnologie bio-ispirate nascono dall’ecosistema stesso. In tutti gli organismi, dai più elementari a quelli più complessi, è possibile osservare una sorta di grande catalogo di materiali, architetture, sistemi e funzioni di rilevante interesse scientifico e tecnologico. L’approfondimento delle loro caratteristiche ha permesso la realizzazione di nuovi materiali prima impensabili. Le applicazioni spaziano dalla vita quotidiana alle tecnologie più avanzate.

Ad esempio la realizzazione di smart materials (vedi l’articolo: Smart materials – Materiali intelligenti) pone chi li progetta davanti ad una spontanea domanda: “Come progetta la natura?” E’ noto ormai che l’evoluzione naturale ha portato i materiali biologici a raggiungere prestazioni specifiche spesso straordinarie. Prestazioni alle quali i materiali sintetici ambiscono. Il processo seguito dalla natura è stato lento ma estremamente efficace: una procedura di successive approssimazioni nell’evoluzione biologica, ha permesso di ottimizzare la microstruttura di ogni tessuto sulla base della sua funzione fisiologica; in tal modo è stato possibile ottenere materiali con prestazioni, oltre che straordinarie, mirate per un preciso scopo, una precisa funzione. Oggi tali materiali sono la più grande fonte di ispirazione per l’ingegneria dei materiali. Nel prossimo articolo avremo modo di osservare alcuni interessanti esempi di biomimetica tratti da differenti applicazioni.

costume_biomimetico.jpg

Un ottimo esempio di biomimetica: i più recenti rivestimenti di superficie hanno lo scopo di ridurre
l’attrito idrodinamico. La loro struttura imita quella dell’epidermide di grandi pesci.
Image’s copyright: NASA (www.nasa.gov)

Note
Tessuto sintetico: tessuto non creato a partire da fibre naturali, ma da polimeri e altri materiali artificiali.
Tessuto biologico: un insieme di cellule, anche strutturalmente differenti, associate per funzione.

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Funzione Φ, funzione FB, applicazione LA

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Funzione Φ, funzione FB, applicazione LA

Innanzitutto va premesso quanto segue:

con A si intende il punto appartenente ad A1, oppure A2, o ancora A3,
con A1 si intende la retta euclidea,
con A2 si intende il piano euclideo,
con A3 si intende lo spazio euclideo,

con V02 si intende l’insieme dei vettori applicati nell’origine O dello spazio bidimensionale,
con V03 si intende l’insieme dei vettori applicati nell’origine O dello spazio tridimensionale,

con R si intende l’insieme dei numeri reali,
con R2 si intende l’insieme delle coppie ordinate di numeri reali,
con R3 si intende l’insieme delle terne ordinate di numeri reali,

con Mm,n si intende l’insieme delle matrici con m righe ed n colonne
con An si intende la colonna n-esima della matrice Mm,n
con Am si intende la riga m-esima della matrice Mm,n

La funzione Φ0: A2 → V02 è una funzione biunivoca (o bigettiva) che associa al punto A (appartenente ad A2) il vettore applicato in O che termina in A; possiamo pertanto scrivere Φ0(A) = OA. Si tratta di una funzione che trasforma un generico segmento in un vettore avente un’origine ed un termine ben preciso.

La funzione FB: V02 → R2 è anch’essa biunivoca e viene definita in seguito ad una Base (vedi l’articolo: Sistema di riferimento affine, Base e Span). Tale funzione associa ad ogni vettore una sola coppia di reali ovvero le sue coordinate rispetto alla Base; possiamo pertanto scrivere FB(OA) = |x1, x2|. I valori x1, x2 sono gli unici che verificano: OA = x1i + x2j dove “i” e “j” sono due vettori non proporzionali che costituiscono una Base di V02.

Un’applicazione LA: Rn → Rm è un’applicazione associata ad una matrice A (la nomenclatura “A”, in questo caso, esime da quella riportata nella premessa) appartenente ad Mm,n (R) e si scrive:

LA (x) = x1A1 + … + xnAn

Ed altro non è che una matrice A che moltiplica un vettore “x” le cui coordinate sono tante quante le colonne di A. L’applicazione LA si intende appartenente a Rm per ogni “x” appartenente a Rn. Inoltre va notato che i termini A1, A2, …, An, quando si parla di matrici, si riferiscono alle colonne delle matrici stesse.

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Materiali compositi: le ossa

L’osso è un materiale strutturale, esso si trova in molti organismi e, anche se non lo si immagina, è un materiale composito. Quando pensiamo ad un materiale composito, generalmente, vengono in mente parole come carbonio, kevlar, resina, ecc. In realtà un materiale composito è composto da una miscela o da una combinazione di due o più micro o macro costituenti che differiscono nella forma e nella composizione chimica e che sono essenzialmente insolubili l’uno nell’altro. L’osso nella fattispecie è formato da una miscela di materiali organici ed inorganici.

Parte organica

Il componente organico è composto da una proteina detta collagene (tipo l) e una minima quantità di proteine non collageniche. Il collagene risulta essere fibroso, tenace e flessibile. Esso fornisce all’osso doti di flessibilità e resilienza (resistenza agli urti). Costituisce il 25-30% del peso a secco dell’osso.

Parte inorganica

E’ costituita da idrossiapatite (HA) la cui composizione è: Ca10(PO4)6(OH)2. L’idrossiapatite è formata da piccole lamine lunghe 20-80 nm e spesse 2-5 nm. Questo componente inorganico fornisce all’osso la sua consistenza, la sua solidità e la sua durezza. Determina il 60-70% del peso a secco dell’osso.

Conclusioni

I materiali compositi fibrosi sono miscele di due o più materiali  con composizione e proprietà differenti che insieme consentono di ottenere proprietà uniche. Oggi sono largamente utilizzati dalle industrie dei più disparati settori ma, come è oramai ovvio intuire, madre natura ci aveva già pensato.

Note
Potrebbe interessarti leggere anche l’articolo: Scienza delle costruzioni vs Femore
Potrebbe esserti utile l’articolo “Fattore di moltiplicazione” per valutare a quanto corrisponde 1 nanometro (nm).

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Sezione longitudinale di un femore
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Endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo

Come abbiamo detto, un’applicazione lineare è una funzione additiva ed omogenea tra due spazi vettoriali V e W,  T: V → W. Per meglio capire i concetti che verranno esposti di seguito vedi anche gli articoli linkati di seguito e ricorda inoltre il Th. della dimensione che mette in relazione “dimensione, nucleo Ker, immagine e rango”, ovvero: dimV = dim KerT + dim ImT.

Funzione (applicazione), iniettività, suriettività, applicazione lineare
Funzione Φ – Funzione FB – Applicazione LA
Dimensione – Nucleo Ker – Immagine – Rango
Composizione di applicazioni lineari – Applicazione lineare invertibile

Se lo spazio vettoriale V è uguale allo spazio vettoriale W (V=W) si parla di endomorfismo, ovvero una rappresentazione di una struttura in sé stessa (conservando le operazioni). Ne sono un esempio:

1. La funzione identità che ad ogni elemento del dominio associa sé stesso.

 

2. L’applicazione nulla 0(v) = 0 per ogni elemento v appartenente allo spazio vettoriale V.

 

3. L’applicazione LA associata alla matrice A appartenente ad Mm,n (K)  che va da Kn a Km.

 

4. L’applicazione FB: V → Kn che manda ogni vettore v dello spazio vettoriale V nella n-upla delle sue coordinate rispetto alla Base (l’applicazione FB infatti è associata ad una Base di V). La lettera “n” si riferisce alla dimensione di V.

5. La trasposizione T: Mm,n (K) → Mn,m (K) la quale associa ad una matrice A la sua trasposta AT.

Nella teoria degli insiemi con il termine monomorfismo si indica una funzione iniettiva. Pertanto se f(x)=f(y) allora x=y. Se la dimensione dell’immagine di T (ovvero il rango di T) è uguale alla dimensione di V, allora l’applicazione lineare T è iniettiva.

Nella teoria degli insiemi con il termine epimorfismo si indica una funzione suriettiva. Se la dimensione dell’immagine di T (ovvero il rango di T) è uguale alla dimensione di W, allora l’applicazione lineare T è suriettiva. Se l’epimorfismo è anche iniettivo siamo davanti ad un isomorfismo e cioè davanti ad una corrispondenza biunivoca.

Se esiste un’applicazione lineare invertibile T: V → W allora esiste un isomorfismo tra V e W, quindi V e W sono isomorfi (V≈W). Si tratta quindi di una corrispondenza biunivoca tra due strutture dello stesso tipo.

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Che cos’è un Quanto?

Rubrica: Energia

Titolo o argomento: La più piccola parte dell’energia

Energia

Come la materia, l’energia si può suddividere fino ad un certo punto, cioè fino ad una determinata quantità limite, oltre la quale essa perde le sue qualità. La porzione più piccola che si ottiene nel processo di suddivisione dell’energia è il quanto: in ogni processo fisico, l’energia può essere assorbita o emessa solo in quanti e mai in frazioni di quanto. Nel tentativo di trovare la legge che regola il fenomeno del “corpo nero” (vedi l’articolo: Che cos’è il corpo nero?), Planck fu costretto ad ipotizzare una natura discontinua dell’energia. Egli suppose che l’energia non è scomponibile illimitatamente ma vi sono invece delle quantità discrete, o pacchetti di energia detti atti elementari (verranno poi chiamati quanti) i quali, come abbiamo detto, sono la quantità più piccola di energia che esiste separatamente.

Luce

L’unità elementare in cui, secondo Planck, è divisibile l’energia, è il “quanto”, mentre, secondo Einstein, quella in cui è divisibile la luce è il fotone. L’idrogeno, il primo atomo della tavola periodica degli elementi, è formato da un protone e da un elettrone. L’energia dell’elettrone può assumere solo determinati valori discreti chiamati livelli di energia (Modello di Bohr). Quando l’elettrone passa da un livello di energia alto ad uno più basso, emette un fotone la cui energia è pari alla differenza fra quei due livelli. La luce pertanto può assumere solo valori discreti e determinati visibili nel suo spettro.

Note

Modello planetario di Rutherford
Tutte le orbite elettroniche circolari intorno al nucleo dell’atomo sono permesse.
Modello di Bohr
Solo determinate orbite elettroniche intorno al nucleo dell’atomo sono permesse.
Radiazione
In fisica, con il termine radiazione, si indica un insieme di fenomeni caratterizzato dal trasporto di energia nello spazio. Tipici esempi di radiazioni sono la luce ed il calore.
Fotone
La radiazione è costituita da granuli elementari che Einstein chiamò “quanti di luce” e che furono poi denominati “fotoni”.
Spettro visibile
La gamma dei sette colori che l’occhio umano riesce a percepire.
Spettro atomico
La figura prodotta dalla radiazione assorbita o emessa da una specie chimica.
Spettro elettromagnetico
Indica la figura di diffrazione creata dalla scomposizione della luce nelle sue componenti cromatiche, ad esempio mediante l’utilizzo di un sistema ottico quale un prisma.

Livelli energetici elettrone

Quando l’elettrone passa da un livello di energia alto ad uno più basso, emette un fotone la cui energia
è pari alla differenza fra quei due livelli.
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I finalisti di Electrolux Design Lab 2011

L’edizione 2011 del concorso Electrolux Design Lab ha avuto come tema la ricerca di soluzioni creative per la mobilità degli elettrodomestici. Si è chiesto infatti a 1300 studenti e neolaureati in industrial design, di tutto il mondo, di proporre soluzioni “intelligenti e mobili” per la preparazione del cibo, la pulizia degli ambienti ed il lavaggio dei piatti, sia all’interno che all’esterno dell’ambiente domestico. Lo scopo non è solo quello di impiegare la creatività per realizzare in futuro elettrodomestici ad elevata portabilità, piuttosto realizzarli in modo che permettano un utilizzo flessibile che faccia risparmiare tempo e dia più spazio alle esigenze di ognuno di noi.

Clicca sull’immagine sotto per vedere il video degli 8 prodotti finalisti ideati dai migliori studenti di industrial design di tutto il mondo.

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