MatematicaMENTE FisicaMENTE LogicaMENTE

16 giugno 2013

Il paradosso del mentitore

Rubrica: Matematicamente
Titolo o argomento: Il paradosso di Epimenide

Se scrivo “Questa frase è falsa” l’affermazione che ho appena fatto è vera o falsa? Se l’affermazione è vera allora è vero che la frase è falsa e quindi non può essere falsa in quanto dice il vero. Mentre se l’affermazione è falsa allora significa che è falso che la frase è falsa e quindi la frase è vera. Immagino lo sconcerto, potete anche abbandonare qui la lettura, avete la mia comprensione : )

Se affermo “Io sto mentendo” siete in grado di stabilire se sto davvero mentendo o sto dicendo la verità? Se è vero che sto mentendo allora sto dicendo la verità nell’informarvi che sto mentendo, ma allora non sto mentendo. Viceversa se è falso che sto mentendo sto dicendo una bugia nell’informarvi che sto mentendo, quindi sto mentendo. Allo stesso tempo però posso concludere che se è vero che sto mentendo, allora io sto dicendo una bugia, quindi il falso. Se invece è falso che sto mentendo, allora io sto dicendo la verità. Ci sono pertanto due conclusioni vere o due conclusioni false che coesistono e ciò non è ovviamente coerente nella logica.

In una forma più chiara e ordinata abbiamo: “Io sto mentendo”

1. VERO: è vero che sto mentendo quindi sto dicendo la verità nell’affermare che mento
(ci troviamo all’esterno ossia nel senso generale dell’affermazione).
2. VERO: è vero che sto mentendo quindi sto dicendo una bugia
(ci troviamo all’interno ossia nel dettaglio dell’azione).

1. FALSO: è falso che sto mentendo quindi sto dicendo una bugia nell’affermare che mento
(ci troviamo all’esterno ossia nel senso generale dell’affermazione).
2. FALSO: è falso che sto mentendo quindi sto dicendo la verità
(ci troviamo all’interno ossia nel dettaglio dell’azione).

Affermazioni autoneganti

Ad una prima analisi si può affermare che vi sono affermazioni (definite autoneganti) che non possono essere considerate né vere né false, semplicemente sono impossibili e prive di soluzione logica. Mi piace ipotizzare che il comportamento delle affermazioni in genere (proposizioni) possa essere assimilato, in un certo qual modo, al comportamento dei sistemi lineari che possono avere una soluzione (ad esempio vera o falsa), infinite soluzioni (al variare delle condizioni) o nessuna soluzione (soluzione impossibile). Il terzo caso, quello della soluzione impossibile, si verifica per l’appunto nelle proposizioni autoneganti perchè, se considerate fini a sé stesse, non sono espressioni logiche ma assomigliano più ad un contenitore di parole (ovvero di strumenti di comunicazione) ammucchiati a caso come un secchiello pieno di mattonici per le costruzioni. E’ naturale che possa capitare che qualche elemento sia semplicemente attaccato ad un altro senza alcuna utilità apparente.

Il punto di riferimento

Se però cambiamo il punto di riferimento, dal quale osserviamo la frase, tutto trova nuovamente un senso. Se ad esempio stiamo leggendo un articolo di giornale che parla di noi e troviamo una inesattezza, ha senso allora affermare “Questa frase è falsa” ed il fatto che ciò sia vero non porta ad alcuna contraddizione in quanto ha perfettamente senso ritenere che sia vero che il giornalista abbia scritto un’informazione errata, inesatta, falsa. Quindi muovendoci all’esterno della frase quello che viene affermato prende un senso. Inoltre se il giornalista, una volta interpellato, afferma che è falso che la tale frase sia falsa, anch’egli sta affermando qualcosa che ha un senso logico compiuto in quanto egli ritiene che la sua fonte di informazione sia veritiera e quindi la notizia esatta. Tradotto in termini più consoni, cambiare punto di riferimento, come vedremo tra poco, significa spostarsi dal linguaggio (in cui la frase è fine a sé stessa) al metalinguaggio (ove ha luogo una spiegazione del messaggio espresso dal linguaggio adottato). Un po’ come cambiare dimensione passando dalle due alle tre dimensioni, ad esempio per definire un volume.

Linguaggio e metalinguaggio

Ciò che non risulta coerente nel linguaggio (vedi la frase dell’esempio “Io sto mentendo”) trova un senso nel metalinguaggio dove finalmente una proposizione può essere definita vera o falsa in modo consistente (Alfred Tarski – Matematico, logico, filosofo del ‘900).

Linguaggio

Facoltà propria dell’uomo di esprimersi e comunicare tramite un sistema di simboli, in partic. di segni vocali e grafici. Nelle discipline logico-matematiche, sistema di cifre, lettere, simboli, per esprimere in modo formalizzato e non ambiguo teorie, concetti ecc.. Fonte: Dizionario Corriere.

Il mezzo di comunicazione all’interno di un sistema, L’insieme delle strutture che danno luogo a una comunicazione. Linguaggio verbale, linguaggio dei gesti, linguaggio della musica, linguaggio dell’arte, linguaggio di programmazione, linguaggio macchina. Fonte: Dizionario Italiano Ragionato.

Metalinguaggio

In logica e in linguistica, linguaggio (in forma naturale o formalizzata) adottato per analizzare e studiare un altro linguaggio. Fonte: Dizionario Corriere.

Che è al di là del linguaggio. In logica, Insieme di strutture linguistiche generali (non appartenenti ad un singolo linguaggio determinato), che permette di analizzare e descrivere un linguaggio concreto. Fonte: Dizionario Italiano Ragionato.

Soluzioni delle affermazioni

Tornando al concetto del sistema lineare, se ora affermo “Sei la donna più importante della mia vita dopo tutte le altre” qual è la donna più importante? A mio avviso l’affermazione non ha alcuna soluzione. Oppure se sostengo “E’ tutta colpa tua se è colpa mia” di chi è la colpa? A mio avviso l’affermazione ha infinite soluzioni a seconda delle condizioni. E ancora “Si è iscritto ad un club per soli eremiti”, quanti soci ha il club dato che un gruppo più o meno folto di persone sole non sono più sole? A mio avviso l’affermazione non ha soluzioni a men che non si pongano delle condizioni quali ad esempio: un folle ha fondato un club per eremiti, dopo l’adesione del primo socio (egli stesso) le iscrizioni sono state terminate in quanto il club è ora al completo (soluzione unica).

L’esempio del teatro

Nel teatro non di rado simili affermazioni vengono adottate per rendere ancora più comico un equivoco che evolve all’interno di una commedia. La non immediata comprensione scatena sovente una maggiore ilarità del pubblico che è portato a dare una propria interpretazione spesso bizzarra esattamente come desidera il commediante.

L’esempio della propaganda

Nella gestione di una nazione invece le frasi che un uomo di propaganda può affermare spesso non hanno senso alcuno nel linguaggio e, se si tenta di attribuir loro una spiegazione mediante il metalinguaggio, sovente si cade nel trabocchetto delle interpretazioni proprie, soggettive, incocludenti e fuorvianti.

Riflessioni conclusive

Ora analizzate pure ciò che vi colpisce nel quotidiano e tentate di stabilire se sia vero, falso o privo di senso in termini assoluti o rispetto ad un dato riferimento. Quindi, come sempre, è opportuno tener conto delle condizioni di esistenza di qualcosa che stiamo descrivendo, così come di una sorta di punto di riferimento rispetto al quale si osserva l’affermazione o la situazione d’interesse. Trattasi però di un mio modesto ragionamento che è assolutamente aperto ad accogliere chiarimenti, spunti, riflessioni e critiche costruttive. Prendete pertanto questo articolo come una sorta di provocazione, uno stimolo al ragionamento, un trastullo matematico.

Link correlati

Questione di punti di vista

Come si comporterebbe la bocca della verità se affermaste “Io sto mentendo” inserendovi la mano? : )
Image’s copyright: Enrique Sánchez

9 marzo 2013

Se un corpo estraneo entra in un pneumatico…

Rubrica: Le domande dei lettori
Titolo o argomento: Ipotesi dei danni provocati dall’ingresso accidentale di un corpo estraneo in un pneumatico in fase di montaggio
Rispondendo a: Franco e amici dalla Svizzera

Se ad esempio dovesse entrare accidentalmente un bullone in un pneumatico durante la fase di montaggio dal gommista, cosa succederebbe? Si potrebbe bucare o deformare il pneumatico dall’interno? Durante la fase di bilanciamento ci si accorgerebbe del corpo estraneo?

Risposta

Premesso che un corpo estraneo, il quale inavvertitamente entra all’interno di un pneumatico in fase di montaggio, non può avere dimensioni e massa elevate (altrimenti sarebbe chiaramente visibile all’operatore oppure non riuscirebbe a passare), le ipotesi che seguono fanno riferimento all’ingresso inavvertito di un bullone (vite + dado) oppure di un oggetto di simili proporzioni e forma irregolare all’interno dell’insieme cerchione-pneumatico durante la fase di montaggio di quest’ultimo.

Il fatto è che la massa di un bullone, accelerato all’interno di un pneumatico, temo non sia sufficiente per poter deformare il pneumatico stesso dall’interno. L’armatura metallica che costituisce la carcassa molto probabilmente reggerebbe. Inoltre la spinta da parte del bullone difficilmente potrebbe essere concentrata in un punto e, molto probabilmente, il bullone non starebbe mai fermo anche se si procedesse di moto rettilineo uniforme in quanto le irregolarità della strada lo farebbero comunque oscillare e cambiare di posizione. Pensandoci poi meglio, gli strumenti per l’equilibratura possono rilevare uno squilibrio solo nel caso il bullone sia fissato sul cerchione o sul copertone. In alternativa probabilmente lo strumento potrebbe dare un segnale di errore e chiedere di ripetere l’analisi, oppure approssimare l’esito come se il bullone non fosse presente. Si può inoltre ipotizzare che il conducente non rilevi vibrazioni provenienti dal pneumatico bensì un tintinnio simile ad un sasso che sbatte in un contenitore messo in rotazione. Gli urti contro il pneumatico sarebbero attutiti mentre quelli contro il cerchione, in particolar modo quando si riduce la velocità periferica della ruota, sarebbero facilmente avvertibili e piuttosto evidenti. Si avrebbe forse la sensazione di un importante guasto al cuscinetto ruota o al cerchione stesso però la marcia proseguirebbe regolarmente. Quello che poi può succedere insistendo nella marcia, è tutto da testare. I continui urti del bullone all’interno della ruota potrebbero danneggiare il cerchione innescando pericolose cricche che potrebbero portare ad una perdita di pressione. Forse alla lunga l’interno del copertone accuserebbe lacerazioni e tagli dovuti ad eventuali spigoli accentuati del bullone inteso come insieme vite+dado. Se si considera il solo dado, invece, penso si potrebbe prolungare la marcia prima di accusare un danno non trascurabile. Gli effetti diminuiscono quanto minore è la massa di un dado e quanto più smussate sono le sue superfici. Se si arriva ad ipotizzare un corpo sferico, caduto accidentalmente all’interno del pneumatico in fase di montaggio e non rilevato dalla macchina per l’equilibratura, si potrebbe avere un largo margine in cui non si presentano danni ma si avverte un rumore “effetto sassolini” fastidioso e allo stesso tempo preoccupante.

La simulazione

Nelle immagini che seguono vediamo degli screenshot raffiguranti 5 fasi di una simulazione fisica che abbiamo effettuato con Algodoo (Vedi l’articolo: “Simulare la fisica con Algodoo“). Nella scena sono compresi la carcassa semplificata di un pneumatico e un oggetto metallico dalla forma irregolare, per entrambi vengono simulati i relativi materiali con le rispettive caratteristiche fisiche (massa, densità, attrito…). Fa inoltre parte della simulazione la forza di gravità, le forze di attrito in gioco, la presenza dell’aria e, ovviamente, la rotazione del pneumatico con momenti a moto costante, altri a moto accelerato ed altri ancora in cui il pneumatico è soggetto a vibrazioni assimilabili a quelle provocate da un fondo irregolare quale è il manto stradale. Per evidenziare il percorso abbiamo dotato il corpo estraneo di un “tracer” ovvero di un tracciante dotato di dissolvenza utile a capire dove si trovava l’oggetto stesso pochi istanti prima.

Ad un basso numero di giri (Fig. 1), con velocità periferica costante, l’oggetto metallico dalla forma irregolare tende ad essere trascinato nella rotazione dal pneumatico tuttavia, raggiunta una certa pendenza, la forza di gravità tende a riportarlo verso il basso in quanto la forza normale agente sul corpo è molto piccola e la forza tangenziale vince l’attrito. Non appena la quota raggiunta dall’oggetto diminuisce, cala la pendenza e nuovamente l’attrito vince sulla forza tangenziale riportando più in alto l’oggetto. Ad un basso numero di giri questo fenomeno si ripete in modo alterno con possibilità di danni di carattere abrasivo piuttosto limitati in quanto, anche se l’oggetto presentasse forma irregolare e spigoli taglienti, le forze in gioco sono contenute e, data la resistenza di un pneumatico ordinario, non innescano particolari fenomeni critici.

Aumentando il numero di giri (Fig. 2), il moto diventa accelerato, le forze in gioco variano continuamente direzione, verso e intensità in quanto si ripresenta il fenomeno precedente ma con un effetto amplificato che si traduce in urti e rimbalzi. Quest’ultimi non permettono una stabile alternanza di saliscendi come nel primo caso. Nel caso l’oggetto abbia una superficie irregolare e spigoli taglienti la possibilità di danni è comunque contenuta per via della massa ridotta che può avere un piccolo oggetto accidentalmente introdotto all’interno del pneumatico duranta la fase di montaggio. Con una massa ridotta, per arrivare a fenomeni rilevanti, è necessario sottoporre l’oggetto ad accelerazioni molto elevate. Inoltre è opportuno notare che l’oggetto difficilmente colpirà ripetutamente il medesimo punto e, anche se ciò accadesse, non avrebbe una massa e un’accelerazione tali da riuscire a perforarlo attraversandolo ed uscendo all’esterno.

Quando la velocità periferica si fa consistente (Fig. 3) il corpo estraneo aderisce alla parete interna del pneumatico rimanendo fermo in un punto di equilibrio in quanto la forza normale al punto di contatto oggetto-pneumatico diventa prevalente. Tuttavia l’oggetto rimane fermo in un punto solo se il moto circolare del pneumatico è costante (o subisce minime variazioni) e se il fondo stradale è rappresentato da un piano perfetto. Ovviamente si tratta di condizioni ideali. Simulando alcune sconnessioni del manto stradale (Fig. 4) il corpo estraneo ricomincia i suoi rimbalzi con una frequenza proporzionale alle irregolarità della strada.

Infine, durante una frenata (Fig. 5), è possibile osservare come il corpo estraneo si distacchi dalla parete interna del pneumatico e il suo moto, prima del nuovo contatto contro un altro punto della parete stessa, diventi parabolico come quello di un proiettile. Senza entrare troppo nello specifico, anche questa situazione mostra come sia difficile che un corpo estraneo entrato accidentalmente all’interno del pneumatico (in fase di montaggio) possa rimaner fermo a lungo nello stesso punto.

18 ottobre 2012

Calcolo vettoriale: prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto, doppio prodotto vettoriale, divisione vettoriale

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Prodotto scalare, prodotto vettoriale, prodotto misto
Premessa

Per i neofiti riportiamo di seguito il link all’articolo che definisce in modo semplice ed intuitivo la differenza tra grandezze scalari e grandezze vettoriali: Grandezze scalari – Grandezze vettoriali. Inoltre si precisa che la somma e sottrazione di vettori viene omessa in questo articolo per l’estrema semplicità di tali operazioni.

Prodotto scalare

Si tratta di un prodotto tra vettori (un’operazione binaria) che non mi restituisce un vettore bensì uno scalare. Esso si indica con v·w oppure con (v, w) o, più frequentemente, con <v, w>. Il prodotto scalare di due vettori v e w corrisponde alla norma di v moltiplicata per la norma di w moltiplicata per il coseno dell’angolo compreso tra i due vettori, ovvero: <v, w> = ||v||·||w||·cosθ. Il prodotto scalare è nullo quando almeno uno dei due vettori è nullo oppure quando questi sono ortogonali (infatti cosπ/2=0). In pratica il prodotto scalare tra due vettori è uguale al modulo (o norma) di un vettore per la proiezione dell’altro vettore sul primo.

Assiomi del prodotto scalare

1. Il prodotto scalare è positivo definito: per ogni vettore dello spazio vettoriale V abbiamo <v, v> ≥ 0.
2. Il prodotto scalare è bilineare, v→<v, w> è funzione lineare in v; w→<w, v> è funzione lineare in w.
3. Il prodotto scalare è simmetrico: <v, w> = <w, v>

Relazioni

Prodotto scalare di due vettori v₁(x₁, y₁) e v₂(x₂, y₂): <v, w> = ||v||·||w||·cosθ = (x₁·x₂)+(y₁·y₂).
Coseno dell’angolo: cosθ = <v, w>/||v||·||w||, l‘angolo ovviamente lo ricavo dalla funzione inversa del coseno.
Se θ= π/2 allora cosθ=0 e quindi <v, w> = ||v||·||w||·cosθ = 0
Se θ=0 allora cosθ=1 e quindi <v, w> = ||v||·||w||·cosθ = ±||v||·||w||

Additività rispetto alla prima variabile: (v₁+v₂, w) = <v₁, w>+<v₂, w>
Omogeneità rispetto alla prima variabile: <λv, w> = λ<v, w>
Lo stesso concetto si ripete per l’additività e l’omogeneità rispetto alla seconda variabile.

Norma di un vettore: ||v|| = √(x²+y²) pertanto ||v|| = √<v, v>
Norma al quadrato di un vettore: ||v||² = x²+y²
Il prodotto scalare di un vettore per sè stesso è uguale alla norma del vettore al quadrato: <v, v> = ||v||²
Il prodotto scalare della differenza di vettori è uguale alla norma al quadrato della suddetta differenza: <w-v, w-v> = ||w-v||².

La proiezione ortogonale w di v₂ su v₁ vale: w = ||v₂||·cosθ·(v₁/||v₁||) = (<v₂, v₁>/<v₁, v₁>)·v₁.

A cosa serve un prodotto scalare?

Oltre a moltiplicare i moduli di due vettori, permette di calcolare la distanza tra due polinomi, l’angolo tra due applicazioni lineari, la proiezione ortogonale di una matrice…

Prodotto scalare su V

Un prodotto scalare su uno spazio vettoriale è una forma bilineare g simmetrica, questo significa che per ogni coppia di vettori v, w dello spazio vettoriale, il prodotto scalare è l’applicazione g(v, w) = g(w, v) anche se convenzionalmente, come abbiamo indicato all’inizio dell’articolo, detto prodotto viene indicato solitamente con v·w oppure con (v, w) o, prevalentemente, con <v, w>.

Nota che una forma bilineare sullo spazio vettoriale V è un’applicazione secondo la quale:
g(v₁+v₂, w) = g(v₁, w) + g(v₂, w)
g(v, w₁+w₂) = g(v, w₁) + g(v, w₂)
g(λv, w) = λg(v, w) = g(v, λw)

Nucleo di un prodotto scalare

Il nucleo di un prodotto scalare è costituito dall’insieme dei vettori v che, moltiplicati scalarmente per qualunque generico vettore w, mi restituiscono zero. C’è una certa somiglianza logica con il nucleo di un’applicazione lineare ovvero il KerT (vedi l’articolo: Dimensione – Nucleo Ker – Immagine – Rango). Il nucleo di un prodotto scalare si indica apponendo alla lettera V un apice a forma di T rovesciata.

Prodotto scalare degenere e non degenere

Un prodotto scalare su V si dice degenere se il suo nucleo contiene degli elementi altrimenti, se il suo nucleo è vuoto, si dice non degenere.

Prodotto vettoriale

Si tratta di un prodotto tra due vettori linearmente indipendenti, che determinano quindi un piano, definito unicamente su R³. Il risultato in uscita è ancora una volta un vettore la cui particolarità è l’ortogonalità rispetto ai due vettori moltiplicati. Il prodotto vettoriale tra i vettori v e w si indica con _^ e quindi ad esempio v_^w (in realtà il simbolo corretto è una v minuscola rovesciata), in alternativa si può utilizzare il simbolo della moltiplicazione imparato alle elementari che assomiglia ad una x, ovvero ×, quindi ad esempio v×w. Il prodotto vettoriale di due vettori v e w corrisponde alla norma di v moltiplicata per la norma di w moltiplicata per il seno dell’angolo compreso tra i due vettori, ovvero: v×w = ||v||·||w||·senθ. Il prodotto vettoriale è nullo quando uno dei due vettori è nullo oppure i due vettori moltiplicati sono linearmente dipendenti (collineari o paralleli) e quindi l’angolo compreso tra i due è zero ed il relativo seno vale a sua volta zero (infatti sen0=0). In pratica il prodotto vettoriale è uguale ad un terzo vettore ortogonale ai due moltiplicati.

Assiomi

1. Il prodotto vettoriale è lineare in ciascuno dei due fattori ovvero è bilineare
2. Il prodotto vettoriale è ortogonale a entrambi i fattori: (v×w)⊥v; (v×w)⊥w
3. La norma di v×w è l’area del parallelogramma (di vertici o, v, w, v+w) generato da v e w: ||v×w||=Area
4. v×w=0 se e solo se v e w sono linearmente dipendenti
5. Se v e w sono line. indip. allora la base (v, w, v×w) determina la stessa orientazione della base canonica
6. v×w è l’unico vettore che soddisfa i punti 2, 3, 5
7. Il prodotto vettoriale è anticommutativo: w×v = -v×w
8. Il prodotto vettoriale è distributivo: v×(w₁+w₂) = v×w₁ + v×w₂
9. Il prodotto vettoriale non è associativo

Relazioni

Se abbiamo i vettori v=(v_x, v_y, v_z) e w=(w_x, w_y, w_z) allora il prodotto vettoriale dei due equivale al determinante della matrice seguente:

Prodotto vettoriale

A cosa serve un prodotto vettoriale?

Può essere utilizzato per esprimere la distanza di un punto da una retta, la distanza tra due rette, l’area del parallelogramma generato dai due vettori moltiplicati…

Prodotto misto

Dati tre vettori u, v, w il loro prodotto misto è una quantità scalare che individua il volume del parallelepipedo da essi generato preso con il segno positivo o negativo a seconda che la terna u, v, w sia destra o sinistra (vedi la regola della mano destra), questo vale: u × v · w = (u × v) · w

Relazioni

Volume parallelepipedo: <(u×v), w> = (v·w·senα)·(w·cosβ) = area base parallelepipedo · altezza parallelepipedo

Se abbiamo i vettori u=(u_x, u_y, u_z), v=(v_x, v_y, v_z) e w=(w_x, w_y, w_z) allora il prodotto misto dei tre equivale al determinante della matrice seguente:

Prodotto misto

Doppio prodotto vettoriale

Descrizione in preparazione

Divisione vettoriale

Descrizione in preparazione

29 settembre 2012

Autovalori e autovettori: esempi utili

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Tre esercizi su autovalori e autovettori

Vediamo di seguito alcuni brevi esempi, più che altro schematici, di calcolo degli autovalori e autovettori. Ognuno dei seguenti esempi fa riferimento sempre al medesimo endomorfismo di cui si parla inizialmente.

Calcolo degli autovalori di un dato endomorfismo
Mi viene assegnato un dato endomorfismo:

Scrivo la matrice associata a tale endomorfismo:
Endomorfismo, calcolo degli autovalori
Risolvo il calcolo del polinomio caratteristico p_T(λ) e trovo la matrice relativa,
Calcolo il determinante della matrice appena trovata:
Calcolo degli autovalori di un endomorfismo
Risolvo l’equazione che emerge dal calcolo del deterimante:

Le soluzioni trovate, ovvero le soluzioni del polinomio caratteristico, sono gli autovalori λ₁=1, λ₂=0, λ₃=2. In questo caso si tratta di 3 autovalori che hanno tutti molteplicità algebrica m = 1.

Calcolo della molteplicità algebrica

Per calcolare la molteplicità algebrica di un determinato autovalore λ di un endomorfismo è sufficiente osservare quante volte il suddetto autovalore è radice del polinomio caratteristico.

Calcolo della molteplicità geometrica

Il calcolo della molteplicità geometrica richiede semplicemente di trovare il rango (ossia la dimensione dell’immagine e quindi il numero delle colonne linearmente indipendenti) della matrice (A-λI_n).

Calcolo dell’autospazio relativo agli autovalori di un dato endomorfismo

Prendo la matrice (A-λI_n) e al posto di λ sostituisco l’autovalore di cui desidero trovare l’autospazio ovvero l’insieme degli autovettori corrispondenti allo stesso autovalore. Nel precedente esempio gli autovalori ricavati tramite il polinomio caratteristico sono: λ₁=1, λ₂=0, λ₃=2.

Se mi occupo dell’autovalore λ₁=1 allora la matrice (A-λI_n) diventa:

Calcolo dell'autospazio relativo ad un autovalore

Da cui ricavo il sistema lineare corrispondente:

y=0,
x=0,
z libera,
ovvero l’autospazio: V_λ1₌(0, 0, z)
Se mi occupo dell’autovalore λ₂=0, allora la matrice (A-λI_n) diventa:
Calcolo dell'autospazio relativo ad un autovalore
Da cui ricavo il sistema corrispondente:
x+y=0 (quindi x=-y),
x+y=0,
z=0,
ovvero l’autospazio: V_λ2₌(x, -x, 0)
Se mi occupo dell’autovalore λ₃=2, allora la matrice (A-λI_n) diventa:

Da cui ricavo il sistema corrispondente:
-x+y=0 (quindi x=y),
x-y=0,
-z=0
ovvero l’autospazio: V_λ3₌(x, x, 0)
Calcolo di base e dimensione dell’autospazio

Prendendo in esame l’esempio precedente, considerando l’autospazio V_λ1₌(0, 0, z) trovo una base semplicemente sostituendo z = 1 ed ottenendo (0, 0, 1). La dimensione dell’autospazio è ovviamente 1. Nota che la dimensione degli altri autospazi relativi agli altri due autovalori è sempre pari a 1 in quanto gli autospazi devono avere dimensione pari alla molteplicità del relativo autovalore.

Calcolo degli autovettori di un dato endomorfismo

Per calcolare gli autovettori relativi rispettivamente agli autovalori λ₁=1, λ₂=0, λ₃=2 dell’endomorfismo proposto, devo prendere la matrice (A-λI_n) nella quale sostituisco di volta in volta λ₁=1, λ₂=0, λ₃=2 e scrivo il sistema di equazioni corrispondenti, esattamente come abbiamo visto alla voce “Autospazio”, dopodiché sarà sufficiente sostituire opportuni valori (a nostra scelta) alle variabili per ottenere il nostro autovettore.

Ad esempio per λ₂=0 abbiamo ricavato l’autospazio V_λ2₌(x, -x, 0) da cui ricaviamo, sostituendo 1 alla x, l’autovettore (1, -1, 0).

Cosa ricavo dalla matrice (A-λI)?

In sostanza, per fare ordine mentale, possiamo notare che attraverso la matrice (A-λI) possiamo ottenere molto.

Se calcolo il determinante della matrice (A-λI) ottengo un’equazione le cui radici sono gli autovalori.
Se nella matrice (A-λI) sostituisco un determinato autovalore λ, troverò il relativo autospazio tramite il sistema lineare corrispondente.
Se alla matrice (A-λI) sostituisco un determinato autovalore λ, posso ricavare il relativo autovettore scrivendo il sistema di equazioni corrispondenti.
Se della matrice (A-λI), alla quale avrò sostituito un determinato autovalore λ (trovato ovviamente mediante il polinomio caratteristico), calcolo il rango ottengo la molteplicità geometrica relativa all’autovalore che avevo precedentemente inserito nella matrice.

Diagonalizzazione della matrice di un endomorfismo

Una matrice diagonale è una matrice che ha tutti gli elementi nulli ad eccezione di quelli presenti sulla diagonale. Se abbiamo una matrice A (ovviamente quadrata) diagonalizzarla significa trovare una matrice B, invertibile, che, moltiplicata per la matrice A e per la sua inversa B^-1, mi permette di ricavare la matrice A’ (simile) diagonale, ovvero B^-1·A·B = A’. In pratica una matrice quadrata è diagonalizzabile se è “simile” ad una matrice diagonale.

La matrice B non è altro che la matrice di cambiamento di base dalla base B di A, alla base B’ di A’.
La matrice B ha per colonne n autovettori linearmente indipendenti.
La matrice diagonale A’ ha sulla diagonale principale gli autovalori, altrove tutti zeri.

Non tutte le matrici quadrate sono diagonalizzabili, ciò è possibile solo se per ogni autovalore λ la dimensione del relativo autospazio è uguale alla molteplicità dell’autovalore stesso, inoltre tutti gli autovalori devono necessariamente essere reali e distinti.

Premesso questo si cerca una matrice B che abbia sulle colonne n autovettori linearmente indipendenti. Questo passaggio, ovviamente, viene effettuato dopo aver risolto tutti i calcoli precedentemente esposti: calcolo degli autovalori tramite il polinomio caratteristico, calcolo degli autospazi (con basi e dimensioni) e calcolo degli autovettori. Nel caso dell’endomorfismo citato in questo articolo devo costruire la matrice B mediante tre autovettori linearmente indipendenti, relativi rispettivamente a λ₁=1, λ₂=0, λ₃=2, da mettere sulle colonne. Una volta costruita la matrice B, ricavo la sua inversa B^-1 e moltiplico B*A*B^-1 che deve equivalere ad A’.

Link correlati
Autovalori e autovettori
Funzione (applicazione) – Iniettività – Suriettività – Applicazione lineare
Endomorfismo – Isomorfismo – Monomorfismo – Epimorfismo
Introduzione alle matrici
Metodi per calcolare il determinante di una matrice
Numeri complessi – parte prima
Numeri complessi – parte seconda

12 settembre 2012

Metodi per calcolare il determinante di una matrice

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Metodi e note per il calcolo del determinante
Matrici quadrate
Che cos’è il determinante?

La definizione più banale: Il determinante è un’operazione che associa un numero a tutte le matrici quadrate. La definizione con più connessioni: Il determinante è una funzione che ci indica esattamente quando n vettori di Rⁿ sono linearmente indipendenti, infatti se due righe (o colonne) di una matrice quadrata sono proporzionali (e quindi linearmente dipendenti) il determinante vale zero. Ciò è strettamente legato al concetto di rango di una matrice (ovvero il numero dei vettori linearmente indipendenti) ed al fatto di cercare la dimensione della sottomatrice più grande con determinante diverso da zero in modo da stabilire la dimensione dell’immagine di un’applicazione lineare. Il determinante è omogeneo e additivo in ogni riga, da ciò si deduce che il determinante è lineare.

Prima di effettuare conti inutili

Se una riga (o colonna) di una matrice contiene tutti zeri, allora il determinante vale zero.
Se due righe (o colonne) di una matrice quadrata sono uguali allora il determinante vale zero.
Se due righe (o colonne) di una matrice quadrata sono proporzionali allora il determinante vale zero.
Se la matrice è diagonale il determinante si calcola moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale.
Se la matrice è triangolare il determinante si calcola moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale.
Il determinante della matrice identità vale 1.

Altre proprietà importanti
Se si scambiano due righe il determinante cambia di segno.
Se ad una riga sommo un’altra riga moltiplicata per uno scalare ≠ 0 il determinante non cambia.
Se ad una colonna sommo un’altra colonna moltiplicata per uno scalare ≠ 0 il determinante non cambia.
Se si moltiplicano gli elementi di una riga per uno scalare k anche il determinante risulta moltiplicato per k.
Se una matrice viene trasposta il determinante rimane il medesimo.
Date due matrici quadrate dello stesso ordine, la matrice prodotto ha per determinante il prodotto dei determinanti delle singole matrici.
Determinante di matrici del primo, secondo e terzo ordine

Premesso che il determinante di una matrice A del primo ordine 1 x 1 è uguale al numero stesso che compare nella matrice, passiamo subito al metodo relativo alle matrici del secondo ordine 2 x 2 nelle quali il determinante è uguale alla differenza fra il prodotto dei due elementi della diagonale principale e il prodotto fra i due elementi della diagonale secondaria.

Determinante di una matrice del secondo ordine

Il determinante di una matrice A del terzo ordine 3 x 3 è uguale alla somma dei prodotti di una riga qualunque per i rispettivi complementi algebrici. Cosa sono i complementi algebrici? Come si calcolano? Vedi il paragrafo successivo.

Determinante di una matrice del terzo ordine

Sopra, la formula di risoluzione delle matrici 3 x3, dove a₁₁, a₁₂, a₁₃ sono ovviamente gli elementi della prima riga della matrice 3 x 3, mentre A₁₁, A₁₂, A₁₃ sono i complementi algebrici dei rispettivi elementi. Nota che, se anche nella formula appena citata compaiono tutti segni positivi, in realtà il complemento algebrico di un elemento, la cui somma degli indici è pari, deve essere preceduto dal segno + (es. A₁₁); mentre il complemento algebrico di un elemento, la cui somma degli indici è dispari, deve essere preceduto dal segno – (es. A₁₂). Ovviamente se vi è una riga che contiene uno o più zeri la si sceglie al fine di ridurre notevolmente i calcoli.

Complemento algebrico ovvero determinante della matrice 2x2 ottenuta dalla matrice 3x3 cancellando 1 riga e una colonna

Complemento algebrico (o determinante della matrice minore)

Il complemento algebrico di un elemento “a_ij” di una matrice A di ordine 3 è il determinante della matrice di ordine 2 (detta matrice minore) ottenuta da A sopprimendo la riga “i” e la colonna “j” cui l’elemento appartiene. Il complemento algebrico deve essere preceduto dal segno + o dal segno – a seconda che l’elemento “a_ij” sia di classe pari (cioè la somma degli indici dà un numero pari) o classe dispari (cioè la somma degli indici dà un numero dispari).

Calcolo del determinante di una matrice del terzo ordine

Quindi il determinante di una matrice del terzo ordine 3 x3 si definisce mediante determinanti del secondo ordine, estratti dalla matrice stessa, ovvero i complementi algebrici. Dalla matrice 3 x 3 si cancella una riga e una colonna e si calcola il determinante (come nel caso del secondo ordine) della matrice 2 x 2 dei termini restanti.

Metodo Sarrus per le matrici del terzo ordine

Il determinante di una matrice 3 x 3 (vedi ad esempio il caso precedente) può essere calcolato anche in un altro modo utilizzando la regola di Sarrus.

Per il calcolo del determinante si riscrivono, alla destra della matrice, le prime due colonne della matrice stessa.
Si moltiplicano poi i termini lungo la diagonale principale e lungo le due diagonali (solo quelle con tre termini) parallele ad essa, dopodichè si scrivono i prodotti ottenuti e si sommano tra loro.
Il procedimento viene ripetuto moltiplicando e poi sommando (come nel punto precedente) i termini lungo la diagonale secondaria e lungo le due diagonali (sono quelle con tre termini) parallele ad essa.
Il determinante sarà uguale alla differenza fra la prima e la seconda somma di prodotti.

Calcolo dei determinanti di matrici di ordine superiore al terzo

Calcolare il determinante di una matrice n x n consiste essenzialmente nell’applicazione ripetuta delle regolette sopra trattate; se abbiamo ad esempio una matrice 4 x 4 possiamo adoperare la formula che fa uso del complemento algebrico e, per semplificare le operazioni, risolvere le matrici minori 3 x 3 ottenute con la regola di Sarrus.

Calcolo del determinante mediante eliminazione di Gauss

Se S è una matrice triangolare superiore ottenuta dalla matrice A effettuando un’eliminazione di Gauss (o una riduzione a scala) con “σ scambi di righe”, allora il determinante della matrice A si ricava mediante la formula:

dove il numero (-1)^σ è uguale a “-1” se σ è dispari, ed è uguale a “+1” se σ è pari.

In sostanza il determinante in questo caso lo si ottiene moltiplicando tra loro gli elementi della diagonale principale (ovvero i pivot p1, p2, …, pn, dato che si tratta di una matrice triangolare ottenuta mediante eliminazione di Gauss) e inserendo il segno corretto che tiene conto di quanti scambi di righe sono stati effettuati.

Sviluppo di Laplace

Il determinante di una matrice quadrata A è uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga qualsiasi per i rispettivi complementi algebrici. Si tratta del metodo che, forse più semplicemente, abbiamo riportato in linea generale, pochi paragrafi più su, occupandoci delle matrici del terzo ordine. Lo sviluppo di Laplace può essere effettuato lungo la colonna j-esima così come lungo la riga i-esima.

Un esempio numerico è sempre gradito, osserviamo la seguente matrice 5 x 5:
Esempio sviluppo di Laplace su matrice 5 x 5

Scegliamo di eseguire il calcolo lungo la terza colonna in quanto presenta tutti zeri ad eccezione dell’elemento “a₅₃” che invece vale 1. Andiamo pertanto ad eseguire i calcoli solo sull’elemento “a₅₃” ed otteniamo quindi:

Esempio sviluppo di Laplace su matrice 5 x 5

Ora il gioco si ripete, si tratta infatti di un procedimento ricorsivo che si ripete tante più volte quanto maggiore è l’ordine della matrice. Trovandoci ora davanti ad una matrice 4 x 4 di cui si deve ricavare il determinante, si riapplica il medesimo procedimento, si sceglie ad esempio di eseguire i calcoli lungo la prima colonna dove, nuovamente, troviamo tutti zeri ad eccezione dell’elemento “a₂₁” che vale 1.

Esempio sviluppo di Laplace su matrice 4 x 4

A questo punto possiamo scegliere se risolvere la matrice 3 x 3 utilizzando nuovamente lo sviluppo di Laplace, oppure adottando la regola di Sarrus. Scegliendo la seconda opzione si ricava il determinante di A che vale -27.

Matrici rettangolari
Caratteristica di una matrice m x n

Premesso che non è possibile (non è logico) calcolare il determinante di una matrice m x n (dato che ci si trova davanti ad un numero di equazioni differente dal numero di incognite) è però opportuno definire il concetto di caratteristica di una matrice m x n.

Se si considera una matrice 3 x 4 è possibile estrarre da essa delle sottomatrici 3 x 3 il cui determinante si chiamerà “minore di ordine 3”. E’ possibile anche estrarre delle matrici 2 x 2 e, in tal caso, il loro determinante si chiamerà “minore di ordine 2”. Quindi, generalizzando, il minore di ordine q di una matrice m x n sarà il determinante della sottomatrice quadrata estratta dalla matrice iniziale ed avente q righe e q colonne.

La caratteristica di una matrice non nulla sarà quindi il massimo ordine dei minori non nulli estraibili da essa.

Note

Matrice minore: la matrice che si ricava eliminando la “riga i” e la “colonna j” relative all’elemento “a_ij“.
Minore complementare: determinante della matrice minore.
Complemento algebrico (o cofattore): lo scalare ottenibile dal minore complementare di “a_ij” preso con il proprio segno o con il segno cambiato a seconda che la somma i+j sia rispettivamente pari o dispari.

Suggerimenti per la rapidità di calcolo

Nel caso di matrici con molti zeri, dette anche matrici “sparse”, risulta conveniente eseguire il calcolo del determinante tramite gli sviluppi di Laplace. Nel caso invece di matrici senza particolari caratteristiche può risultare di gran lunga meno laborioso il metodo che si basa sull’eliminazione di Gauss.

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Introduzione alle matrici

17 agosto 2012

Autovalori e autovettori

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Che cosa sono gli autovalori e gli autovettori?

Spesso capita di studiare gli autovalori e gli autovettori osservandoli come qualcosa di complicato e incomprensibile imparando di conseguenza “a memoria” i concetti espressi dal libro o a lezione. In realtà il concetto di autovalore e autovettore è semplice in maniera disarmante. Dò per scontato il concetto di “endomorfismo” per il quale comunque, in basso tra i link correlati, è riportato un apposito articolo.

Introduzione al concetto di autovalori e autovettori

Quando ci troviamo davanti ad un’applicazione lineare (o funzione che dir si voglia) esisteranno direzioni privilegiate che rimangono invariate sotto l’azione dell’endomorfismo T? Se ad esempio ci troviamo davanti ad un endomorfismo T di R², esisterà una qualche coppia (x, y) ≠ (0, 0) che, trasformata mediante T, mi dia come risultato nuovamente la coppia (x, y) moltiplicata per un numero λ? Ci chiediamo quindi se capiterà quanto segue:

T(x, y) = λ(x, y)

Per scoprirlo vediamo un apposito procedimento negli esempi riportati a fine articolo, prima però è opportuno dare alcune definizioni fondamentali.

Autovalore (o valore proprio)

Si tratta di un coefficiente di proporzionalità, uno scalare solitamente denominato con la lettera λ. Gli Autovalori di un endomorfismo T sono esattamente le radici (o soluzioni) del suo polinomio caratteristico (vedi paragrafo relativo).

Autovettore (o vettore proprio, o vettore caratteristico)

Il vettore v₀ è autovettore di T se T(v₀) = λv₀, ciò implica che v₀ è l’autovettore relativo all’autovalore λ. In altre parole si tratta di un vettore non nullo v appartenente a V tale che T(v) sia multiplo di v.

Polinomio caratteristico “p_T(λ)”

Strumento per la determinazione di autovettori e autovalori: p_T(λ) = det(A-λI_n), dove T è l’endomorfismo dello spazio vettoriale V, mentre A è la matrice quadrata che rappresenta T rispetto alla base B e, infine, I_n è la matrice identica o identità. Le soluzioni di tale polinomio, ossia le radici, sono gli autovalori. Essi andranno poi sostituiti all’interno del sistema T(v) = λv.

Il polinomio caratteristico è un oggetto che dipende solo dalla classe di similitudine di una matrice e fornisce pertanto informazioni sulla natura della trasformazione lineare. Il polinomio caratteristico è anche utilizzato per determinare la forma canonica di luoghi geometrici esprimibili mediante matrici come coniche e quadriche.

Spettro “Sp(T)”

Insieme degli autovalori di T.

Autospazio “V_λ“

Insieme degli autovettori corrispondenti allo stesso autovalore ovvero V_λ è uguale all’insieme degli elementi v di V per cui T(v) = λv. Ricorda inoltre che l’autospazio è sottospazio di V. Gli autospazi devono avere dimensione pari alla molteplicità del relativo autovalore.

Traccia
Somma degli autovalori.
Molteplicità algebrica

La molteplicità algebrica di un autovalore è la sua molteplicità come radice (o soluzione) del polinomio caratteristico p_T(λ). La molteplicità algebrica di un autovalore è sempre maggiore o uguale alla sua molteplicità geometrica.

Molteplicità geometrica
La molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione dell’autospazio relativo all’autovalore.
Endomorfismo triangolabile

Un endomorfismo è triangolabile se esiste una base B di V rispetto alla quale T è rappresentato da una matrice triangolare superiore. In tal caso si dice che la base B “triangolarizza T”. Ciò mi interessa per il semplice fatto che vogliamo trovare una base per cui una data matrice (o una data applicazione lineare) ha la forma più semplice possibile al fine di semplificare notevolmente i calcoli.

Endomorfismo diagonalizzabile

Un endomorfismo è diagonalizzabile se esiste una base di V composta da autovettori di T. Inoltre se T è un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione “n” sul campo K e se T ha esattamente “n” autovalori distinti in K, allora l’applicazione lineare T è “diagonalizzabile”. Ciò mi interessa per il semplice fatto che vogliamo trovare una base per cui una data matrice (o una data applicazione lineare) ha la forma più semplice possibile al fine di semplificare notevolmente i calcoli.

Esistenza di una base di autovettori per un dato endomorfismo

Se la matrice associata a un endomorfismo è diagonale allora esiste una base composta da soli autovettori. Se una matrice quadrata A di ordine n è simile ad una matrice diagonale allora esiste una base di autovettori per L_A se e solo se la classe di similitudine O_A contiene una matrice diagonale.

Sia sui reali che sui complessi basi di autovettori non esistono sempre. Certo farebbe comodo perchè rispetto ad una base di autovettori un endomorfismo può essere rappresentato da una matrice decisamente semplice: la matrice diagonale (di risoluzione immediata). Quello che è certo è che sui complessi è sempre possibile trovare basi rispetto alle quali l’endomorfismo si esprime mediante una semplice matrice che generalmente è triangolare superiore. Sui reali non è detto che accada sempre.

Nota: per comprendere agevolmente quanto appena riportato è necessario conoscere i concetti di “matrici simili e classe di similitudine”, “endomorfismo” e “applicazione L_A associata ad una matrice” (attraverso la quale una matrice moltiplica un vettore).

A cosa servono gli autovalori e gli autovettori?

Gli autovalori e gli autovettori compaiono ad esempio come assi preferenziali di rotazione, frequenze di risonanza, direzioni di maggior sforzo. Essi sono mezzi per lo studio di endomorfismi.

Esempi di calcolo di autovalori e autovettori

Vedi link relativo di seguito.

Link correlati
Autovalori e Autovettori: esempi utili
Funzione (applicazione) – Iniettività – Suriettività – Applicazione lineare
Endomorfismo – Isomorfismo – Monomorfismo – Epimorfismo
Introduzione alle matrici
Numeri complessi – parte prima
Numeri complessi – parte seconda

18 giugno 2012

Numeri complessi – parte seconda

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: I numeri complessi – parte seconda

Nell’articolo “Numeri complessi” abbiamo introdotto in modo banale l’utilità di questa tipologia di numeri, ora complicheremo leggermente le cose al fine di introdurre concetti un po’ più approfonditi. Su Rⁿ (con n≥3) non è possibile definire un prodotto che, assieme alla somma usuale, lo renda un campo (vedi l’articolo: “Assiomi campo ed assiomi spazio vettoriale“). Su R² invece ciò è possibile tramite il campo C dei numeri complessi. E’ importante ricordare che ogni numero complesso non nullo possiede esattamente n radici n-esime distinte, questo significa che un polinomio di grado n, su C, ammette sempre esattamente n radici, cosa che non accade sempre su R (vedi il Teorema fondamentale dell’algebra). Introduciamo di seguito alcune definizioni utili.

Premessa

Modulo (o norma) ρ del vettore v

Se v=(x,y) appartenente ad R² è un vettore non nullo applicato nell’origine, il suo modulo o norma (ovvero la sua lunghezza) è il numero positivo: ρ=|v|=√(x²+y²). Attenzione perchè su alcuni testi trovate il modulo ed il valore assoluto espressi con il medesimo simbolo, mentre su altri testi trovate il valore assoluto espresso come segue |x| ed il modulo (o norma) espresso con la doppia barretta ||v||.

Argomento θ del vettore v

Si tratta di quell’angolo θ appartenente a [0, 2π) che viene misurato in radianti e per il quale x = ρcosθ e y = ρsinθ (vedi l’articolo: “Coordinate polari“).

Prodotto in coordinate polari e coordinate cartesiane

Vedi l’articolo: “Coordinate polari“.

I numeri complessi

Come si descrive un numero complesso

Il numero complesso “z” si descrive come segue “z = x+iy” dove “x” è la parte reale (Re z) e “y” è il coefficiente (numero reale) della parte immaginaria “iy” (Im z) di “z”. La lettera “i” rappresenta invece l’unità immaginaria. Spesso trovate il numero complesso “z” descritto come segue “z = a+ib”, ovviamente è la medesima cosa. Vale la pena osservare che:

a+i0 è un numero reale
0+ib è un numero immaginario puro
a+ib è un generico numero complesso

In numeri

z = √-1 non è altro che il numero complesso “i” ovvero l’unità immaginaria i = √-1, per definizione: i² = -1 e, per analogia con i numeri reali, -i²= -1 mentre -(i)²=+1 (attenzione alle parentesi). Ad esempio √-16 non è altro che √-1 · √16, ovvero i√16 e quindi 4i.

i·(-i) = 1
± i² = -1
i³ = i² · i = -i
i⁴ = i² · i² = 1

x²+1=0 ovvero x²=-1 ha come radici (soluzioni) x₁=i e x₂=-i che, dimostrazione banale, al quadrato danno entrambi il valore “-1”.

Per la cronaca, anche se si tratta di un concetto che va approfondito, riportiamo il valore della radice di i: √i = ±(1+i)/√2, infatti, elevando al quadrato il risultato otteniamo (ovviamente): [±(1+i)/√2]² = (1+i)²/2 = (1+i²+2i)/2 = (1-1+2i)/2 = i

Numero complesso immaginario puro

Quando la parte reale Re(z) = 0, ovvero a = 0, il numero immaginario z = ib si dice immaginario puro.

Complesso coniugato e coniugio

Il complesso coniugato di un numero complesso “z = a+ib” è il numero complesso z* = a-ib. L’applicazione che associa ad un numero complesso il suo coniugato si chiama coniugio.

La base canonica di C su R

Il campo C è uno spazio vettoriale di dimensione 2 su R, una sorta di R² sotto altre vesti. La base canonica di C su R è data da [(1,0), (0,1)].

Unità moltiplicativa 1

Il vettore (1,0) della base canonica riportata al punto precedente è detto unità moltiplicativa di C e viene indicato semplicemente con 1.

Unità immaginaria i

Il vettore (0,1) della base canonica riportata poco sopra è detto unità immaginaria e viene indicato con i. Il prodotto i · i = i² = (0,1) · (0,1) = (-1, 0) = -1 (vedi il prodotto di due numeri complessi di seguito).

Somma di due numeri complessi

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) per esempio i + i = (0, 1) + (0, 1) = (0+0, 1+1) = (0, 2)

Prodotto di due numeri complessi

(a,b) (c,d) = (ac-bd, bc+ad) per esempio i · i = (0, 1) · (0, 1) = (0 – 1, 0+0) = (-1, 0) = -1

Inverso di un numero complesso

1/(a+ib) = (a-ib)/((a+ib)·(a-ib)) = (a-ib)/(a²+b²) ovvero l’inverso di “z” è uguale al rapporto tra il “coniugato di z” (vedi la voce “complesso coniugato e coniugio” riportata precedentemente) e il “prodotto del numero complesso z per il suo coniugato” (ovvero il quadrato del suo modulo). Quindi 1/z = z*/z·z* = z*/|z|². Per ottenere l’inverso di z, come nell’esempio all’inizio di questo paragrafo, è sufficiente moltiplicare e dividere, per a-ib, la quantità 1/(a+ib) ed eseguire le normali operazioni.

Inverso di “i”: 1/i = -i/1 dove “-i” è il complesso coniugato di “i” ed il numero 1 presente al “denominatore” è il quadrato del modulo di z = a+ib (in questo caso z=0+i1 ovvero z=i). Quindi l’inverso di “i” vale “-i”.

Il quadrato di un numero complesso

(a+ib)² = (a+ib) · (a+ib) = (a²-b²) + i(2ab) il tutto calcolato normalmente membro a membro facendo attenzione al fatto che ib·ib vale -b² in quanto i² = -1 (spesso le prime volte si tende a non ricordarlo).

Modulo di un numero complesso

Il modulo di “z” è il numero reale |z| = √(x²+y²) oppure, se volete |z| = √(a²+b²), ovviamente è la stessa cosa. Il modulo non è altro che la distanza del generico punto P dall’origine, in questo caso il punto P viene rappresentato sul piano complesso o piano di Gauss. E’ utile notare che il modulo di “z” è uguale al modulo del suo complesso coniugato “z*”.

Il quadrato del modulo di un numero complesso

Moltiplicando “z = a+ib” per il suo coniugato “z* = a-ib” si ottiene a²+b² che altro non è che il quadrato del modulo di z e quindi il quadrato di |z| = √(a²+b²). Ovviamente per modulo non si intende il valore assoluto, bensì la lunghezza, l’intensità di un vettore.

Scrittura di un generico numero complesso

Come abbiamo visto la base canonica di C su R è [(1,0), (0,1)] dove (1,0) si può scrivere semplicemente “1” e (0,1) non è altro che “i”, pertanto la base canonica di C su R può essere scritta come segue: (1, i). Questo ci permette di scrivere comodamente un generico numero complesso (a, b) come segue: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1) = a · 1 + b · i = a + ib. Ricorda che per effettuare le normali operazioni troverai il numero complesso scritto nella forma z = x+iy mentre per la rappresentazione sul piano complesso o piano di Gauss sarà semplicemente (x, y).

“i” scritto in coordinate cartesiane e polari

Abbiamo detto, al paragrafo inerente l’unità immaginaria, che il vettore (0,1) della base canonica di C è detto unità immaginaria e viene indicato con “i”. In coordinate polari “i” ha un modulo e un argomento e, più precisamente, ha modulo 1 e argomento π/2, ovvero (1, π/2).

Un numero complesso può essere scritto in forma trigonometrica e, da z = x+iy, diventa z = ρcosθ + i ρsinθ in quanto, come abbiamo visto nella premessa, x = ρcosθ e y = ρsinθ. Da ciò è possibile notare che x²+y² = ρ²cos²θ + ρ²sin²θ = ρ² (cos²θ + sin²θ) = ρ² · 1 (per via dell’equazione fondamentale della trigonometria). Da ρ² = x²+y² ritroviamo ρ=|v|=√(x²+y²) ovvero il modulo (e tutto torna).

Radice (o zero)

Se “z” è un numero complesso qualsiasi (diverso da 0) ed “n” è un numero qualunque maggiore di zero, allora la radice ennesima di “z” (ⁿ√z) è il numero complesso (se esiste) “w” tale che “wⁿ = z” e quindi “ⁿ√z = w”. Questo significa che l’equazione nell’incognita “w” descritta da “wⁿ = z” ha esattamente “n” soluzioni.

Teorema fondamentale dell’algebra

Esso afferma che un’equazione del tipo a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n= 0, dove a₀, a₁, a_n sono dei numeri complessi qualsiasi, ha sempre esattamente n radici (vedi il paragrafo precedente).

Molteplicità

Le radici (vedi i due paragrafi precedenti) devono essere contate con la loro molteplicità… cosa vuol dire? Se abbiamo un polinomio, nella variabile z, a coefficienti complessi e se z₀ è una sua radice (o zero, o soluzione), allora possiamo dire che z₀ è una radice di molteplicità “m” (appartenente ai numeri naturali) se il polinomio dato è divisibile per il polinomio (z – z₀)^m ma non è divisibile per il polinomio (z – z₀)^m+1.

Ad esempio il polinomio p(z) = (z-i)²·(z+i) ha radici “z₀₁ = i” e “z₀₂ = -1″ pertanto se divido il polinomio per (z-z₀)^m e quindi, nel caso della prima radice, per (z-i)^m mi accorgo che al massimo la molteplicità m può valere 2, quindi la radice “i” ha molteplicità 2. Se eseguo la stessa operazione con la seconda radice, ovvero con “-1”, mi accorgo che la m può valere al massimo 1, quindi la radice -1 ha molteplicità 1.

7 giugno 201216 marzo 2020

Questione di punti di vista

Alle volte due persone affermano cose apparentemente differenti ed in contrasto ma, nonostante ciò, entrambi hanno ragione. Come è possibile? Dipende dai punti di vista, ossia dall’origine del punto di vista, dal sistema di riferimento scelto.

Ammettiamo che tu ti trovi ad un milione di anni luce dalla terra, se affermi che Melbourne e Roma si trovano nello stesso punto, non affermi qualcosa di errato. Questo perchè bisogna fare i conti con un sistema infinitamente più grande di quello al quale sei abituato. Chi si trova sulla terra però avrà comunque ragione ad affermare che Melbourne e Roma non si trovano nello stesso punto. Questo perchè è cambiato il sistema di riferimento. Che cos’è il sistema di riferimento? Hai presente quando ti trovi a bordo di un treno, fermo in stazione, il quale ha accanto un altro treno? Quando uno dei due treni parte, non riesci a stabilire quale sia fino a che non trovi un punto di riferimento e osservi chi si stia muovendo rispetto a quello (un palo della stazione ad esempio). Ebbene tale sistema di riferimento può essere molto lontano come nell’esempio di Roma e Melbourne viste dallo spazio, oppure essere molto vicino come nell’esempio classico dei treni in stazione o come nel curioso esempio della camera di Ames.

La camera di Ames, grazie alla sua particolare geometria ed al fatto che si può guardare al suo interno con un solo occhio tramite uno spioncino, offre una distorsione della realtà percepita dal cervello. Esso, nel tentativo di ricostruire la scena corretta, si ritrova davanti ad un apparente paradosso logico: due persone della stessa altezza, poste accanto, risultano essere l’una alta circa il doppio dell’altra anche se in realtà non è così. Questo dipende dal punto di vista (forzato da uno spioncino che permette di osservare l’interno della camera) ovvero dal sistema di riferimento. Il punto di vista forzato è un punto “ottuso” che non permette di fare una valutazione globale corretta della situazione e non permette di percepire la reale geometria della stanza che non è un comune parallelepipedo ma un prisma a base trapezoidale con un vertice estruso in modo tale che il pavimento sia in pendenza.

Quando una categoria di lavoratori a te poco gradita subisce un duro colpo a te fa piacere perchè pensi a quali danni possa aver causato in passato tale categoria agli interessi di tutte le altre categorie. In un certo senso hai ragione. Ma se il tuo sistema di riferimento si sposta all’interno della suddetta categoria, se a farne parte sei tu, devi ammettere per logica che riterresti sbagliato che le tue abitudini ed i tuoi interessi vengano intaccati. Anche questa volta, in un certo senso, hai ragione. Ma se in entrambi i casi hai ragione, come è possibile, da un punto di vista logico, che quanto affermato sia vero? Semplicemente perchè entrambe le affermazioni sono uguali e l’oggetto del discorso è sempre: il perseguimento dei propri interessi.

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Metodi di dimostrazione logico matematica

La camera di Ames, grazie alla sua particolare geometria ed al fatto che si può guardare al suo
interno con un solo occhio, offre una distorsione della realtà percepita dal cervello il quale,
nel tentativo di ricostruire la scena corretta si ritrova davanti ad un apparente paradosso logico.
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9 maggio 2012

Composizione di funzioni e di applicazioni lineari

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: La logica della composizione di funzioni
Composizione di funzioni

Il concetto di composizione di funzioni viene definito come una relazione tra due funzioni “f:A→B” e “g:B→C” ove il codominio di f coincide con il dominio di g. Ciò permette di definire una nuova funzione che corrisponde alla composizione di f con g, che si scrive “g o f” e si legge “g composto f” (nel caso specifico si scrive “g o f: A→C”).

Composizione di applicazioni lineari

Il concetto è assolutamente il medesimo: una relazione tra due applicazioni lineari “S:U→V e T:V→W” ove il codominio di S coincide con il dominio di T definendo così una nuova applicazione, ancora una volta lineare (trovi le definizioni ai “link correlati” indicati in basso), che corrisponde alla composizione di S con T, che si scrive “T o S” e si legge “T composto S” (nel caso specifico “T o S: U→W”). Qualora U, V, W siano uguali, ciò significa che T ed S sono endomorfismi (trovi le definizioni ai “link correlati” indicati in basso) pertanto, in questo caso, risultano definiti sia “T o S” che “S o T” ma in generale la composizione non è commutativa ovvero T o S ≠ S o T.

Un curioso esempio

Se però il concetto dovesse essere inizialmente difficile da immaginare si può porre all’attenzione un esempio banale come quello che segue: immaginate di dover tradurre in una lingua che non conoscete il termine “materiali compositi”, ipotiziamo che questa lingua sia il tedesco e che per la traduzione adoperiate un traduttore online come ad esempio il traduttore di Google. Traducendo dall’italiano al tedesco il termine “materiali compositi” otterrete “verbundwerkstoffe”. Ora però non avete idea se il termine ottenuto è realmente quello che desiderate oppure un sinonimo o un termine con un significato adatto ad altri contesti. Così, per una verifica, potete ad esempio tradurre il termine tedesco nel suo corrispondente in un’altra lingua che conoscete, ad esempio l’inglese. Se il risultato della traduzione dal tedesco all’inglese, del termine “verbundwerkstoffe”, è “composite materials”, avrete la conferma che anche la traduzione dall’italiano al tedesco è corretta. Non avete fatto altro che comporre due funzioni.

ITA: materiali compositi (o compositi)
ENG: composite materials (o composites)
GER: verbundwerkstoffe
f: funzione dal termine italiano al termine tedesco
f(materiali compositi) = verbundwerkstoffe
g: funzione dal termine tedesco al termine inglese
g(verbundwerkstoffe) = composite materials
g o f: composizione di f con g
g o f(materiali compositi) = composite materials
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Introduzione al concetto di funzione matematica
Dominio, codominio, invertibilità, monotonia
Funzione (applicazione), iniettività, suriettività, linearità
Endomorfismo, isomorfismo, monomorfismo, epimorfismo

Come si comporterebbe la bocca della verità se affermaste “Io sto mentendo” inserendovi la mano? : ) Image’s copyright: Enrique Sánchez

Come si comporterebbe la bocca della verità se affermaste “Io sto mentendo” inserendovi la mano? : )
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