Categoria: MatematicaMENTE FisicaMENTE LogicaMENTE

Allena la mente conoscendo meglio la matematica usando poi la maggiore elasticità mentale per migliorare la tua vita ed il tuo lavoro…

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Campo vettoriale

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Definizione di campo vettoriale

Un campo vettoriale su uno spazio euclideo è un’applicazione (su un dominio connesso) che associa ad ogni punto di una regione di uno spazio euclideo un vettore dello spazio stesso.

Più in generale un campo vettoriale su una curva oppure su una superficie è una funzione che associa ad ogni punto della curva oppure della superficie, un vettore dello spazio tangente in quel punto la curva oppure la superficie.

Semplificando. Se in una regione dello spazio è definita una grandezza vettoriale che viene rappresentata in ogni punto di tale regione da un opportuno vettore, allora l’insieme dei vettori associati ai punti della regione costituiscono un campo vettoriale.

Un campo vettoriale sul piano si può rappresentare graficamente come una distribuzione di vettori bidimensionali in modo che il vettore immagine del punto x abbia l’origine in x stesso. In modo analogo si possono visualizzare campi vettoriali su superfici o nello spazio tridimensionale.

Un esempio di campo vettoriale nel mondo reale lo si ha considerando la velocità associata alle particelle di fluido che scorrono all’interno di una condotta o di un fiume o ancora in una corrente d’aria.

 campo vettoriale

Abbiamo elaborato questa immagine tridimensionale per facilitare la comprensione del concetto di campo vettoriale
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Campo matematico

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Introduzione ai campi matematici studiati in Analisi Matematica II

Quando sentiamo dire le espressioni verbali “il campo della moda”, “nel campo della ricerca”, “nel campo della meccanica”, e così via… siamo già pronti a comprendere che per campo intendiamo un insieme di cose attinenti tutte al medesimo argomento o comunque tutte in relazione con esso. Ebbene nella matematica il concetto è esattamente lo stesso. Un campo è una sorta di “zona”nella quale sono valide determinate operazioni matematiche e determinate proprietà di tali operazioni.

Più nello specifico un campo è un insieme di entità soggette a due operazioni binarie (addizione e moltiplicazione) tali che: l’insieme è un “gruppo commutativo” rispetto all’addizione; l’insieme privato dello zero è un gruppo commutativo rispetto all’addizione; la moltiplicazione è distributiva rispetto all’addizione.

Secondo tale definizione gli insieme dei numeri razionali e gli insiemi dei numeri reali sono dei campi, al contrario l’insieme dei numeri naturali non lo è (vedi le tipologie di numeri qui).

Nei prossimi articoli di questa rubrica vedremo in sintesi le principali particolarità dei campi vettoriali, dei campi conservativi e dei campi irrotazionali.
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Operatore differenziale vettoriale Nabla

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Operatore differenziale vettoriale Nabla

Si tratta di un operatore differenziale vettoriale che consente di scrivere in modo più semplice e compatto gli operatori differenziali gradiente di uno scalare, divergenza di un vettore, rotore di un vettore, nonché l’operatore laplaciano di uno scalare ed il laplaciano di un vettore.

La formula riportata sotto è riferita ad uno spazio tridimensionale (R3) ed ogni addendo non è altro che la derivata parziale rispetto a x, rispetto a y e rispetto a z della funzione data. Da notare che nello spazio vettoriale monodimensionale (R) il Nabla corrisponde ad una normalissima Derivata. Talvolta al posto di x,y,z può essere usato x1, x2, x3. Ovviamente nulla cambia.

Importante sarà l’utilizzo di questo operatore nella descrizione di concetti di dinamica del veicolo, fisica matematica e fluidodinamica che seguiranno tra alcune settimane su questo blog.

operatore differenziale vettoriale nabla

L’operatore Nabla è spesso chiamato anche “del” o ancora “gradiente”
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Sistema di riferimento affine, Base e Span

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Il sistema di riferimento affine, la base di uno spazio vettoriale e lo Span

L’insieme formato da un’origine O appartenente al piano euclideo (denominato A2) e da due vettori “non proporzionali” (i=OA1, j=OA2) appartenenti a V02 (ovvero all’insieme dei vettori applicati in O nello spazio bidimensionale) si chiama sistema di Riferimento Affine del piano ovvero RA(O, A1, A2).

La coppia di vettori “non proporzionali” che nell’esempio sopra abbiamo chiamato “i, j” si chiama Base di V02 e si scrive B = (i, j). Infine lo Span è il piano generato dai vettori “i, j”.

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Operatore lineare

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Operatore lineare

Un operatore tra spazi vettoriali che conserva l’addizione e la moltiplicazione per uno scalare. Spesso viene indicato con L(X,Y) dove X e Y sono gli spazi vettoriali. Gli operatori di dimensione finita sono identificabili con le matrici.

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Operatori matematici

Rubrica: Officina della Matematica

Titolo o argomento: Operatore matematico

Un qualsiasi simbolo utilizzato per indicare un’operazione quale ad esempio l’operatore di integrazione “∫” oppure l’operatore differenziale Δ. Tra i principali operatori, che andremo ad analizzare nei prossimi articoli di questa rubrica, troviamo:

  • Operatore normale
  • Operatore scalare
  • Operatore lineare
  • Operatore differenziale (nabla, gradiente, divergenza, rotore, laplaciano*)
*Detto anche: nabla quadro, del quadro o gradiente quadro.
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Lipschitzianità di una funzione

Rubrica: Officina della Matematica
Titolo o argomento: Ipotesi di Lipschitzianità

Definizione. Proprietà secondo la quale la distanza tra i valori di una funzione è limitata da un multiplo costante della distanza tra gli argomenti. La costante L è maggiore di zero.

A cosa serve? La lipschitzianità è importante per stabilire l’unicità di soluzioni nei problemi di Cauchy relativi ad equazioni differenziali ordinarie.

Funzione di una variabile

In sostanza è una funzione di variabile reale che ha una crescita limitata ovvero il rapporto tra “variazione di ordinata y=f(x)” e “variazione di ascissa x” non può mai superare un valore fissato, detto costante di Lipschitz “L”.

|f(x1)-f(x2)| ≤ L |x1-x2|

Funzione di due variabili

In sostanza è una funzione di due variabili reali che ha una crescita limitata ovvero il rapporto tra “variazione di quota z=f(x,y)” e “variazione di ascissa x” oppure tra “variazione di quota z=f(x,y)” e “variazione di ordinata y” (Lipschitzianità rispetto a y – esempio sotto) non può mai superare un valore fissato, detto costante di Lipschitz “L”.

|f(x,y1) – f(x,y2)| ≤ L |y1 – y2|

Per ogni x appartenente all’intervallo I (sull’asse delle ascisse) e per ogni y1, y2 appartenenti all’intervallo J (sull’asse delle ordinate)
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Condizioni al contorno (condizioni ai limiti)

Rubrica: Officina della Matematica
Titolo o argomento: Condizioni al contorno (o condizioni ai limiti)

In matematica, una condizione al contorno è una condizione imposta che la soluzione di un’equazione differenziale deve soddisfare ai margini del suo insieme di definizione (ovvero, il suo contorno).

Un’equazione differenziale ammette spesso un’infinità di soluzioni e l’imposizione di condizioni aggiuntive è necessaria per individuare una particolare soluzione, che sarà inoltre unica se l’equazione soddisfa certe ipotesi di regolarità.

Ci sono diversi tipi di condizioni ma le più comuni sono quelle che specificano il valore della soluzione (Dirichlet) e il valore della sua derivata (Neumann).

Nel caso delle equazioni differenziali alle derivate parziali, le condizioni al contorno si strutturano come imposizioni date alla soluzione su tutto un perimetro o una superficie.

Un esempio di applicazione delle condizioni al contorno lo abbiamo nello studio delle strutture in scienza delle costruzioni ad Ing. Meccanica ed Ing. Edile. Le condizioni al contorno sono quelle per cui, noti ad esempio i vincoli di una trave appoggiata e quindi gli spostamenti che ciascuno di essi impedisce, puoi restringere il campo di studio della trave stessa evitando di studiarla laddove gli spostamenti sono nulli.

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Equazioni differenziali ordinarie lineari NON omogenee del primo ordine

Rubrica: Matematicamente, Speciale equazioni differenziali – Parte III

Titolo o argomento: …ordinarie lineari NON omogenee del 1°ord. a coeff. costanti

Vi propongo in questo articolo un file pdf allegato (in basso) nel quale ho riportato la soluzione delle equazioni differenziali lineari NON omogenee. Tale soluzione si compone di una soluzione  omogenea (ottenibile esattamente allo stesso modo delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee) e di una soluzione particolare.

In questa rubrica “Speciale equazioni differenziali” tratteremo in modo semplificato tutte le principali tipologie di equazioni differenziali. Il lavoro di approfondimento, come al solito, spetta a voi. Se desideri una rapida e comoda classificazione delle equazioni differenziali per fare ordine durante i tuoi studi dai un’occhiata ai link correlati.

Equazioni differenziali ordinarie lineari NON omogenee del primo ordine: PDF

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Classificazione equazioni differenziali
Equazioni differenziali ordinarie lineari omogenee a coefficienti costanti
Equazioni differenziali ordinarie lineari NON omogenee

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