MatematicaMENTE FisicaMENTE LogicaMENTE

1 aprile 2009

Dominio, codominio, invertibilità, monotonia.

Rubrica: Matematicamente, Speciale funzioni matematiche – 2

Titolo o argomento: Dominio Codominio Invertibilità Monotonia

Dominio

Con questo termine indichiamo la zona dell’asse x (ascisse) dove la funzione è presente. E ad esso sottraiamo la zona dell’asse delle x in cui la funzione non esiste. Detto in soldoni tramite il dominio sappiamo la porzione (il tratto – l’intervallo – la parte…) di asse delle x in cui la funzione passa sicuramente.

Codominio

Nel codominio vediamo fino a dove la funzione è presente sull’asse delle y (ordinate). Ad esempio, come vedremo nel prossimo articolo, le funzioni seno e coseno hanno codominio compreso tra -1 ed 1.

Può sembrarvi banale? Eppure durante diversi esami orali di Analisi Matematica 1 ho sentito molti, molti studenti non conoscere il dominio e il codominio della funzione tangente ad esempio… Per questo nel prossimo articolo trovate un interessante elenco.

Funzioni invertibili:

Una funzione è invertibile quando è sia iniettiva che suriettiva.

Iniettiva, in parole povere, significa che “distinti elementi di un insieme A, hanno distinte immagini nell’insieme B“. Tuttavia l’insieme B può avere anche altri elementi che non travano corrispondenza in A.

Suriettiva significa, sempre in termini semplificati, che “ogni elemento dell’insieme immagine B corrisponde ad un elemento dell’insieme A“. In soldoni non ci sono elementi liberi da legami…

f(x) : A→B è la funzione diretta che va da A in B

f^-1(x): B→A è la funzione inversa che va da B in A. Dominio e Codominio (immagine) semplicemente si scambiano.

Quando invertiamo una funzione esplichiamo la x e poi, per convenzione scambiamo le lettere… ovvero al posto della x mettiamo la y e viceversa:

funzione f(x) = y = 2x+1 esplichiamo la x e otteniamo x= (y-1)/2 scambiamo le lettere x,y e abbiamo y=(x-1)/2 che è la funzione inversa della funzione iniziale. Perchè si scambiano le lettere? Perchè il dominio diventa il codominio e viceversa…

Funzioni monotòne

Giusto per farvi capire il senso, una funzione monotòna è una funzione che non cambia comportamento ovvero una funzione crescente (ma potrebbe anche essere strettamente crescente) oppure una funzione decrescente (ma potrebbe essere strettamente decrescente). Non ditelo però al prof. con queste parole 🙂 Su qualunque libro di testo di Analisi matematica trovate (spero) un semplice paragrafo che esplica le condizioni di crescenza, decrescenza assai semplici.

Continua…

Link correlati

Speciale funzioni matematiche -1- Introduzione al concetto di funzione
Speciale funzioni matematiche -2- Dom Codom Invertibilità Monotonia
Speciale funzioni matematiche -3- Elenco funzioni matematiche note
Speciale funzioni matematiche -4- Come si studia una funzione
Speciale funzioni matematiche -5- Esercizio svolto in ogni sua parte

16 marzo 2009

Introduzione al concetto di funzione matematica

Rubrica: Matematicamente, Speciale funzioni matematiche – 1

Titolo o argomento: Introduzione al concetto di funzione matematica

Funzione matematica:

Legge che associa ad ogni elemento di un insieme (A) chiamato dominio (o insieme di definizione), uno ed un solo elemento dell’insieme (B) chiamato codominio. Entrambi gli insiemi sono costituiti da numeri Reali. In simboli si scrive:

f : A → B oppure più semplicemente y=f(x)

ecco un esempio molto semplice di funzione matematica: y=x+1 E’ sufficiente sostituire alla x il valore che si desidera e sommare ad esso 1, otterremo il valore della y.

Naturalmente se siete arrivati a questo articolo conoscete benissimo questa definizione e vi interessa più che altro la sintesi delle funzioni che seguirà. Al contrario, se non conoscete cosa sia una funzione matematica, questa definizione vi sarà poco utile.

Uso quindi parole mie per farvi capire il concetto:

Immagina che per ottenere la giusta miscela per una crema che stai preparando devi aggiungere per ogni uovo un cucchiaio di zucchero.

Immagina che la x rappresenti la quantità di uova
e che la y rappresenti la quantità di cucchiai di zucchero.

Se la miscela corretta è di un cucchiaio di zucchero per ogni uovo, avrai la seguente funzione matematica y=x ossia: 1=1; 2=2; 3=3 che non significa altro che per ogni elemento x c’è un elemento di y. Per ogni uovo c’è un cucchiaio di zucchero.

Se invece la miscela corretta fosse stata di 2 cucchiai di zucchero per ogni uovo, avresti ottenuto:

y=2·x ovvero sostituendo 1 alla x avresti ottenuto: 2=2·1

Come vedi inserendo 1 al posto della x (che rappresenta le uova) ottengo una y di valore 2 (che rappresenta i cucchiai di zucchero). Per ogni uovo ci sono due cucchiai di zucchero.

Quindi come vedi, anche se non è facile, puoi capire che le funzioni matematiche mettono in relazione vari elementi tra loro che possono addirittura essere rappresentati su un piano cartesiano in modo da avere l’idea di un andamento della situazione.

Continua…

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7 marzo 2009

Graficando online

Rubrica: Matematicamente
Titolo o argomento: Programmi online per tracciare grafici di funzioni

Vuoi uno strumento online per tracciare velocemente i tuoi grafici di funzioni matematiche?

Benissimo allora clicca sul seguente link

Mathe-fa.de/it

Uno strumento utile veloce quando non ci occorre necessariamente acquistare una calcolatrice scientifica o un software per il pc.

12 febbraio 200916 marzo 2020

L’orologio di Gauss

Rubrica: Matematicamente

Titolo o argomento: Che cos’è l’orologio di Gauss

Giochi sfiziosi con la matematica

4 + 9 = 1 Vero o Falso?

Pensereste mai che questa affermazione sia vera? Abituati alla matematica basata su normali somme e sottrazioni imparate alle elementari, certamente no.

La somma basata su calcolatori a orologio di Gauss, è un’operazione a tutti più che mai familiare… La eseguiamo ogni volta che guardiamo l’ora su un orologio analogico. Ad esempio sapremo benissimo che quattro ore dopo le nove di mattina sarà l’una.

Il principio di addizione sul calcolatore a orologio è proprio questo

Si sommano i numeri e si ricava il resto dopo aver diviso il risultato per dodici. Gauss introdusse questa notazione circa 200 anni fa:

4 + 9 = 1 (modulo 12)

La moltiplicazione o l’elevamento a potenza di un numero su un calcolatore di Gauss funzionano in modo simile: si calcola il risultato su un calcolatore convenzionale, lo si divide per dodici e si prende il resto della divisione. Gauss capì inoltre che non era necessario attenersi al comune orologio da 12 ore per effettuare questo tipo di operazioni, poteva infatti utilizzare orologi con un numero primo di ore: orologi da 5 ore o da 7 ore ad esempio. Fermat studiò proprio questi esempi -circa gli orologi basati su numeri primi- poco tempo prima di Gauss.

Ipotizziamo un orologio con 5 ore sul quadrante. Se ad esempio su di esso moltiplichiamo il numero 2 per sé stesso 5 volte otteniamo 32. Ma a 32, sull’orologio di Gauss, corrisponde nuovamente 2. Perchè? Perchè se dividiamo (come detto sopra) 32 per il numero 5 otteniamo 6 con il resto di 2. Ovvero la lancetta gira 6 volte sull’orologio a 5 ore e si ferma nuovamente sull’ora 2.

Questa cosa, apparentemente inutile (attenzione ho detto apparentemente), si rivelò fondamentale nello studio dei numeri primi o meglio per tentare di trovare una ricorrenza nei numeri primi e poter prevedere ad esempio quale sarà il successivo numero primo dopo: 193.707.721

Basti pensare a questo semplice esempio che segue:

Le potenze di 2 su un calcolatore convenzionale danno i valori che leggete nella riga centrale (figura sotto) ; le potenze di due ottenute su un orologio di Gauss danno una sequenza di numeri interessante in quanto si ripete (2 – 4 – 3 – 1). Ripetendosi da la possibilità di fare previsioni… questo è il succo del discorso. Ecco la tabella:

Fermat aveva scoperto (osservando il lavoro di Gauss) che per ogni numero primo (lo chiamiamo “p”) e per ogni valore x sull’orologio con “p” ore sul quadrante, risultava:

x^p= x (modulo p)

ad esempio:

2⁷ = 128 sul calcolatore convenzionale
2⁷= 2 (modulo 7) sul calcolatore a orologio di Gauss

30 gennaio 2009

Numero fattoriale

Rubrica: Officina della matematica
Titolo o argomento: Cosa sono i numeri fattoriali

E’ la funzione che calcola il prodotto dei primi “n” numeri naturali. Viene indicata come segue:

n! = n•(n-1)!

il punto esclamativo indica la funzione fattoriale.

Un esempio comprensibile:

3! si legge 3 fattoriale

e non è altro che: 1•2•3=6 ovvero il prodotto dei primi numeri naturali fino a 3.

Per convenzione si assume che zero fattoriale sia uguale a 1 (0! = 1)

Note:

per numeri “n” molto grandi si ha: n! ≈ nⁿ• e^-n (vedi formula di Stirling)

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Quanti numeri conosci?

24 gennaio 2009

Analisi matematica 1 – Metodo di studio

Rubrica: Matematicamente
Titolo o argomento: Metodo di studio e divisione del lavoro

Spesso si studia Analisi Matematica senza alcuna cognizione, senza metodo… Si finisce con il perdere una quantità elevata di tempo e ridurre la propria resa. Una simile materia può apparirci come un caos astratto senza capo né coda. Così non è. E’ sufficiente avere del metodo. Sapere come dividere il lavoro e su cosa concentrare di più o di meno i nostri sforzi.

Nella prima tabella che segue (cliccaci sopra per ingrandire) vediamo la corrispondenza e le dirette relazioni tra limiti, derivate, studi di funzioni e integrali. Studiarli in modo sparpagliato fa perdere molto tempo. Seguire lo schema appena citato potrebbe tornarvi utile. Tuttavia la reale resa dipende dalla vostra testa e dal tempo dedicato all’apprendimento:

Negli schemi successivi invece vedremo, basandoci su quanto appena detto e quindi rispettando l’ordine di studio: limiti – derivate – studio di funzioni – integrali, come schematicamente possano essere suddivisi i molteplici argomenti costituenti questo esame in modo tale da averli ordinati nella nostra mente per significato e logica.

Consiglio vivamente di studiare solo ed esclusivamente i limiti (seconda figura) e le premesse (indicate nella prima figura) prima di passare a derivate e integrali. Successivamente suggerisco di affrontare lo studio delle derivate assieme allo studio di funzione. Solo per ultimo entrare nel mondo degli integrali e riprendere le basi studiate alle superiori (vi sarà utile).

Fondamentale sarà, inoltre, avere a disposizione vecchi appelli (con esercizi svolti e non) che prontamente chiederete in fotocopisteria o in dipartimento di scienze matematiche o, perhcè no, durante l’orario di ricevimento direttamente al vostro professore.

Nota:

Nella figura in cui sono elencate le “Premesse” e le “Tabelle” abbiamo lasciato dello spazio in quanto non sono da escludere possibili aggiornamenti.

18 gennaio 2009

Numeri complessi

Rubrica: Officina della matematica

Titolo o argomento: Numeri complessi

A cosa servono? Perchè me li fanno studiare? Semplice, ma non guasterebbe dirlo anche a lezione: i numeri complessi sono il modo migliore per rappresentare onde elettromagnetiche e correnti elettriche nonchè grande uso ne viene fatto nella meccanica quantistica. Non sono un mucchio di numeri inutili messi li per farti tribolare. Se sei un meccanico hai bisogno dei tuoi attrezzi per smontare una vettura, se lavori nel campo della matematica anche. In questo caso l’attrezzo è il numero complesso. Se abbiamo un’equazione di secondo grado del tipo:

4x²+3x-1=0 allora avremo soluzioni x₁=1/4 e x₂=-1

Se invece avessimo un’equazione di secondo grado del tipo:

z²+1=0

applicando la solita formula per le equazioni di 2° grado (-b±√(b²-4ac))/2a arriveremmo al punto in cui qualcosa non “quadra”, ovvero arriveremmo a: (0±√(-4ac))/2a. Il valore sotto la radice quadrata è negativo! Per semplificare possiamo risolvere l’equazione con la formula ridotta per le equa di 2° grado: (-b/2±√(b/2)²-ac)/a risolvendo in questo modo l’equazione z²+1=0 risulta (0±√-1)/1 ovvero z=±√-1.

Questo non è ammesso nel campo dei numeri Reali, pertanto si estende R introducendo il campo C dei numeri complessi. Tali numeri non sono altro che l’ambito dove possiamo operare in situazioni “strane” come in quella che si verifica con valori negativi sotto la radice.

z=±√-1 non è altro che il numero complesso i

i è definito come l’unità immaginaria: i=√-1,

per definizione: i²=-1 e -i²=-1 mentre nel caso: -(i)²=+1

La forma algebrica con cui si rappresenta l’insieme dei numeri complessi è: C = (z=x+iy tale che x,y appartengono a R) z=numero complesso; x= parte reale; y=coefficiente della parte immaginaria i. Le operazioni sui numeri complessi si eseguono come sui numeri reali; ecco un esempio: (x+iy)+(x’+iy’) = (x+x’) + i(y+y’); altro esempio (x+iy)·(x’+iy’) = xx’+ixy’+ix’y+i²yy’

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Numeri complessi – parte seconda

15 gennaio 2009

Principio di induzione

Rubrica: Una frase per teorema
Titolo o argomento: Principio di induzione
Prendi una successione (ovvero una funzione avente come dominio l’insieme dei numeri naturali (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …, N).
Dai un nome a questa successione: Bar Mario, Gnagni oppure perchè no, P(n).
P(n) suona tecnico, in più ti da la possibilità di sostituire a quella splendida “n” piccola, un numerino naturale che potrebbe esserti utile per vivere
Il principio di induzione afferma che la successione P(n) è valida per qualunque numero NATURALE “n” se è vera per il primo numero naturale positivo (cioè 1) e se è vera per n+1 ossia anche per il numero successivo.

13 gennaio 2009

Vista 3D di un vettore

Rubrica: Fisicamente
Titolo o argomento: Vista 3D di un vettore

Se l’immagine presente nell’articolo “Cos’è un vettore” non vi era chiara, ecco a voi la vista in 3d (animazione sotto) di un vettore che segnala lo spostamento dall’origine degli assi O=(0, 0, 0) al punto A=(1, 4, 2)

https://www.ralph-dte.eu/gallery/scienze/matematicamente/vettori/vettore_3d.swf

In pratica in uno spostamento un vettore non fa altro che indicare quanto ci si è mossi lungo l’asse x, lungo l’asse y e lungo l’asse z, rispetto ad un sistema di assi cartesiani di riferimento.

Credo e spero che più chiaro di così non sia possibile. Cerchiamo di rendere gli articoli della nostra rubrica più brevi e chiari possibile. Ci rendiamo conto che aprire la pagina di un sito che si interessa di matematica e trovarla piena di formule fitte fitte scritte piccolo piccolo, non sia il modo migliore per tentare di capire agevolmente ciò che il libro che utilizzate ha spiegato troppo velocemente ad esempio.

Continuo a ricordare che un’applicazione molto gradita ai giovani circa i vettori, è senza dubbio quella citata nell’articolo che fa riferimento alla simulazione di corse automobilistiche. In tale articolo potete capire l’importanza fondamentale della conoscenza dei vettori in modo concreto.