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La continua lotta contro il sistema Italia: La matematica

Posted by Raffaele Berardi on 24 luglio 2018

Rubrica: Così è la vita

Titolo o argomento: Risolvere i problemi dell’Italia da soli

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Esistono strumenti matematici che, senza accorgercene, utilizziamo tutti i giorni. Lo facciamo inconsciamente ogni volta che effettuiamo un qualunque ragionamento, ovvero quando siamo chiamati a risolvere ogni nostro problema, anche il più banale. Un bambino di poco più di un anno, che prova a camminare retto, cerca degli appigli per evitare la caduta. Ha già elaborato nella sua mente il concetto di sostegno ed il concetto che il sostegno evita la caduta e quindi la possibilità di farsi male. Non lo sa tradurre in numeri ma lo sa applicare e, probabilmente, riuscirà a cavarsela anche così tutto il resto della vita.

Un problema di traduzione

La logica, le ipotesi, le tesi, le operazioni… sono insite nell’evoluzione umana. Il motivo per cui in realtà tanto fatichiamo con la matematica sui banchi di scuola è dato dalla difficoltà di tradurre concetti, logiche, ragionamenti in numeri. Il problema che abbiamo con la matematica è quindi di pura “traduzione”, non di comprensione. La maggior parte dei teoremi matematici (esposti nel programma di Analisi Matematica I e Analisi Matematica II presso le facoltà di Ingegneria Meccanica) sono in sé banali, quel che è difficile, oltremodo, è trovar loro una dimostrazione. Magari un teorema è riferibile a qualcosa che facciamo ogni giorno con naturalezza, però non sappiamo come questo “qualcosa” si possa tradurre in numeri e questa limitazione ci impedisce di “vedere” delle varianti perfettamente logiche per affrontare un problema in un altro modo, magari più redditizio.

Mancano gli esempi di applicazioni pratiche reali!

Funzioni matematiche, equazioni, sistemi di equazioni, operatori, ecc., possono esserci utili in modi che nemmeno osiamo immaginare. E non lo immaginiamo per il puro e semplice motivo che, quando ci vengono insegnati non ci vengono fatti esempi di applicazioni nella realtà (ed è in questo esatto punto che si accentuano i problemi di traduzione). In questo modo si finisce con l’imparare le cose meccanicamente, quindi adottando una risoluzione ripetitiva, scarsamente ragionata, quindi non padroneggiata.

Tradurre un problema in numeri: un semplice esempio

Una funzione matematica, per farla semplice, è uno strumento a disposizione di ogni cervello umano, è uno strumento rimodellabile infinite volte e permette di trasformare un dato in ingresso in un dato in uscita “elaborato”. Possiamo studiare funzioni note (come ad esempio il seno e il coseno) o manipolare funzioni da noi create per precisi scopi (ad esempio per la risoluzione di un problema tecnico, semplice o complesso, o per la risoluzione di un problema di vita quotidiana che interessa tutte le persone e che, come introdotto, solitamente sappiamo risolvere in automatico anche quando non siamo in grado di tradurlo in numeri). Ma cosa vuol dire tradurre un problema in numeri? Per rendervi comprensibile quanto appena affermato ecco subito un semplice esempio:

Chiedeva una pubblicità qualche tempo fa proponendo un allenamento mentale: “In un’aia ci sono oche e conigli, per un totale di 25 teste e 70 zampe. Sapreste dire quante sono le oche e quanti i conigli?”.

Considerato che ogni animale ha una testa ma che le oche hanno due zampe mentre i conigli quattro, allora possiamo impostare uno strumento matematico che si chiama “sistema” definendo prima quanto segue:

le oche le chiamiamo x,
i conigli li chiamiamo y,
la somma delle teste la definiamo come x+y=25
la somma delle zampe la definiamo come 2x+4y=70

x+y=25 significa che la somma delle teste è uguale a 25 ma non sappiamo quante siano le oche e quanti siano i conigli, per questo chiamiamo gli uni con la lettera incognita x e gli altri con la lettera incognita y;

2x+4y=70 significa che le oche (che ho chiamato x) hanno 2 zampe, che i conigli (che ho chiamato y) hanno 4 zampe e che le zampe in tutto sono 70.

il sistema da risolvere è quindi:
x+y=25
2x+4y=70

risolvendo con un paio di semplici regolette, che trovate spiegate sui testi di matematica del primo superiore di qualunque istituto, ricavate che x=15 e y=10, ovvero le oche sono 15 e i conigli 10, che in effetti mi restituisce una somma di 25 teste e una somma di 30 + 40 = 70 zampe.

Avvertire un disagio…

Ora è chiaro che chi non sa come risolvere un sistema di equazioni di primo grado avrà una grossa limitazione nel trovare una soluzione al problema appena illustrato. Potrà comunque risolverlo tramite tentativi e mezzi empirici però avrà avvertito un certo disagio nel constatare che anche contare oche e conigli include molta più matematica di quanto si pensi. Figuriamoci “campare” in una società bizzarra e frenetica come quella attuale… uscirne competitivi sembra un’impresa da affidare più alla “fortuna” che alle nostre potenzialità. Ma non è così, in realtà, noi e quello che possiamo imparare a fare, contiamo tanto quanto avere buone opportunità di partenza e, a mio modesto parere, anche qualcosa di più.

Funzioni, sistemi, equazioni… la cassetta dei ferri della matematica

Così come nell’esempio riportato sopra, allo stesso modo possiamo analizzare e risolvere funzioni, sistemi, equazioni create da altri e vedere cosa succede se sostituiamo in esse valori compatibili con quanto esprimono (cioè i valori che abbiano un senso, che siano ammessi da quello che viene chiamato “dominio”, ovvero da quella “zona” che stabilisce se i valori che stiamo inserendo hanno realmente a che fare con il problema di cui ci stiamo occupando).

Ancora un semplice esempio

In matematica se consideriamo una semplice equazione di primo grado come ad esempio 3x=12, non faremo altro che cercare il valore della x che dà un senso all’equazione. Non dobbiamo subito pensare che non lo sappiamo fare o che non ci ricordiamo come si fa. Basta “osservare” cosa c’è scritto: c’è un “qualcosa” che è posto uguale ad un altro “qualcosa”. Credo sia logico per tutti ritenere che non abbia senso dire che uno stipendio di 1000 Euro è uguale ad uno stipendio di 18.000 Euro, allo stesso modo 3 non è uguale a 12 ma solo 12 è uguale a 12. In questo caso, quindi, è piuttosto evidente che il valore che rende coerente l’equazione è 4 perchè 3 moltiplicato per 4 è uguale a 12 e mi permette di ottenere un confronto che ha senso: 12=12. Se poi prendo confidenza con questi strumenti, posso spostare uno dei due membri dall’altra parte (e quindi per convenzione cambiarlo di segno) ottenendo 0=12-12 che è ovviamente ancora coerente in quanto 12-12 fa zero e ne segue 0=0.

Fatta la legge trovato l’inganno
(ma gli inganni non sono soluzioni ammissibili, coerenti)

Ebbene quando in Italia si dice “Fatta la legge, trovato l’inganno”, da un punto di vista matematico si potrebbe tradurre il concetto affermando che se chi ha legiferato ha generato una funzione, coloro che ad essa devono sottostare hanno cercato di imbrogliare inserendo in essa valori incoerenti per tentare di farla portare (un po’ come si faceva di tanto in tanto alle medie quando svolgevamo le espressioni a casa e invertivamo qualche segno a piacere per far portare il tutto ed uscire il prima possibile con gli amici).

Diverso è il discorso se uno è bravo a trovare soluzioni vere che rispettino i termini di legge, quindi della funzione, e per non sottostare a qualcosa che non gradisce vi pone rimedio legalmente rispettando le caratteristiche della funzione stessa. Può sembrare difficile, astruso e complicato ma stiamo semplicemente parlando di funzioni matematiche basilari, di sistemi come quello dell’esempio precedente, di equazioni di primo o di secondo grado (le più semplici in assoluto sono già sufficienti per gran parte della quotidianità). Come a dire che capire a fondo il libro di matematica del primo superiore, per quello che realmente esprime, può già darvi una grande mano nel trovare soluzioni a problemi minori della quotidianità.

Un esempio davvero banale può essere un aumento della tassazione sull’automobile al quale il cittadino non si sottrae evadendo le tasse (valore non coerente) ma si sottrae vendendo il suo veicolo, o operando una sostituzione a favore di uno alternativo (sempre se i costi della sostituzione non rappresentano invece un’ulteriore perdita), o sostituendolo con un’altra tipologia di mezzo, perchè no, una bici o i mezzi pubblici. Tutte soluzioni che non provocano violazione alcuna eppure evitano al soggetto di subire gli effetti primi di un rincaro nel pieno rispetto della legalità e quindi della funzione matematica generata.

Per trovare soluzioni utili, coerenti, ammissibili, sono necessari strumenti matematici avanzati

Via via che si complicano e si articolano le problematiche, si articola di conseguenza la matematica che le rappresenta e che permette di trovare soluzioni utili e coerenti o, ad ogni modo, un andamento che descriva una situazione e ne permetta una interpretazione più approfondita del solito.

Nel caso, cui si riferisce questo articolo, inserire un problema in ingresso e avere un’opportunità in uscita significa effettuare una trasformazione molto elaborata che richiede destrezza nel maneggiare molti operatori. La massa conosce addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni e percentuali che offrono una visione decisamente limitata di quello che si osserva, ma si ottiene già di più maneggiando ad esempio esponenti e radici (il teorema di Pitagora ha permesso di calcolare aree in modo semplificato alle civiltà potamiche, cinesi in particolar modo ma anche egiziani, babilonesi, indiani) e molto di più maneggiando integrali, derivate, differenziali, gradienti, equazioni differenziali, ecc. che invece sono in grado di raccontarci dove porta una determinata situazione, sotto determinate condizioni, e, perché no, il futuro più probabile (semplici esempi sono rappresentati dal calcolo della gittata di una palla, la resistenza di un organo meccanico sollecitato, tutte cose di cui, con gli strumenti giusti, si può sapere “come andrà a finire”).

Trasformare problemi in opportunità generando funzioni intelligenti: allenamento per la mente

Trasformare ogni singolo problema in una opportunità è un allenamento strabocchevole per la mente. Studiare la matematica può sembrare perfettamente inutile per risolvere i problemi di tutti i giorni, specie i più gravosi. In realtà l’allenamento offerto dallo studio della matematica è per il cervello equivalente all’allenamento fisico che offriamo ai nostri muscoli per vederli più tonici. Non cambia assolutamente nulla. Il bello poi è che se non siete portati per la matematica, e vi sforzate di capirla, è molto probabile che ne ricaviate ben di più di chi invece vi è agevolmente portato e spesso mastica strumenti di cui potrebbe persino non vedere il reale potenziale (perché li dà per scontati). Non di rado quelli particolarmente abili in matematica sono dei pazzerelli incompresi da chi li osserva e non si rendono conto di cosa hanno tra le mani, sovente lo vedono più come un gioco sfizioso di un mondo parallelo. Invece quelli che si sudano fortemente l’approccio con una simile e nobile scienza, ne traggono vantaggi notevoli a completamento di un cervello che aspettava solo gli stimoli giusti per dare il meglio. Ma occorrono anni e anni di perserveranza.

Conclusioni

Così vi arricchite senza necessità di accumulare denaro. Diventate potenti senza necessità di poltrone. Fate scacco matto a chi vi voleva ridotti ad organismi non pensanti che eseguono e non obiettano. Vedete intorno a voi la gente spendere cifre esorbitanti per le stesse identiche cose che voi riuscite ad ottenere con sforzi economici decisamente minori. Riducete in maniera impressionante gli sprechi, aumentate le vostre opportunità e vedete come, alla fin fine, in un campo come quello delle tecnologie, potete ottenere per la vostra azienda, con le cifre che costa un bell’appartemento, le stesse cose che altri ottengono, forse, se ci riescono, con spese anche una decina di volte più elevate (che possono portare al seguito anche situazioni di finanziamento e indebitamento snervanti).

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Le civiltà potamiche calcolavano le aree irregolari dei terreni facendo largo uso del Teorema di Pitagora, uno stratagemma che, conoscendo opportuni strumenti matematici, semplificava notevolmente la vita. In realtà il Teorema di Pitagora fu scoperto da piú culture, alcune delle quali destreggiavano anche esponenti e radici in periodi in cui l’avremmo ritenuto impensabile. Maggiori info sull’argomento sono disponibili sulla presentazione a cura della Professoressa Sofia Sabatti che trovate al seguente link: http://win.sofiasabatti.it/pit/PITdef.ppt

Pythagoras Same Area Pat Hayes Example: https://www.youtube.com/watch?v=Zb0thZ6_5G8
Pythagoras Same Area Example 2: https://www.youtube.com/watch?v=_87RbSoELW8

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Le civiltà potamiche calcolavano le aree irregolari dei terreni facendo largo uso del Teorema di Pitagora,
uno stratagemma che, conoscendo opportuni strumenti matematici, semplificava notevolmente la vita.
Image’s copyright: mathisfun.com

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Come risolvi un problema?

Posted by Raffaele Berardi on 2 novembre 2012

Rubrica: Metodi. Alternative al mondo abituale.

Titolo o argomento: Strade per risolvere un problema: Problem Solving, istruzione e Fai da Te

Si presenta un problema* (ad esempio c’è qualcosa che si rompe o necessita di ordinaria manutenzione), puoi scegliere se risolverlo da te (autorisoluzione) o se demandare la risoluzione a terzi (trasferimento della risoluzione). Ovviamente la prima opzione comporta costi moderati (talvolta persino nulli), mentre la seconda implica costi che possono essere considerati da ordinari fino a straordinari. In ogni caso non è solo questo il punto (sarebbe scontato).

Autorisoluzione

Se opti per l’autorisoluzione una serie di fattori non trascurabili divideranno te dalla risoluzione del problema. Innanzitutto vi è la fondamentale necessità (preventiva) di un trasferimento di conoscenze dalle sedi dell’istruzione e formazione (scuole, università, corsi di formazione, esperti del settore, esperienze lavorative, prove e test, materiale informativo, ecc.) a te. Questo significa che se la tua nazione offre una formazione adeguata, metodica, debitamente approfondita e variegata (come accade in varie regioni del centro-nord Europa), hai più chance di superare agevolmente un ostacolo senza sentirti in panne e accerchiato da inutili timori. Al contrario se l’istruzione fornita dalla tua nazione non è al passo con i tempi e risulta incompleta e obsoleta, si verificherà una sorta di errore ciclico. Significa che se deciderai di scegliere il percorso dell’autorisoluzione di un problema, non appena ti accorgerai di non avere le conoscenze e gli strumenti giusti per risolverlo e non appena verificherai l’assenza di adeguate fonti di informazione e formazione, ti ritroverai ciclicamente al punto di partenza del percorso di autorisoluzione senza venire a capo di nulla. I ripetuti tentativi a poco serviranno. In alternativa abbandonerai la strada dell’autorisoluzione per quella del demando del compito a terzi, ovviamente denaro permettendo, altrimenti il problema rimarrà lì davanti a te irrisolto con tutti i disagi che esso comporta. Ipotizzando, come accennato poco prima, che invece la tua nazione offra strumenti formativi al top, puoi compiere un importante passo avanti verso la risoluzione del tuo problema a patto che tu abbia il desiderio e la voglia di studiare e imparare, nonché la capacità di saper fare trasformando concetti teorici in atti pratici. Con queste premesse puoi costruire, ottenere e raggiungere l’obiettivo prefissato. Se ora hai risolto il problema, per questa volta, il percorso è concluso. Viceversa se non lo hai risolto vi sono tre possibilità, una logica che prevede il riavvio della fase di studio con ulteriori approfondimenti e tappe di formazione, una meno vantaggiosa che prevede di intraprendere il percorso del demando della risoluzione a terzi ed una poco logica che prevede l’abbandono del problema irrisolto con tutte le spiacevoli conseguenze che questo comporta.

Demando della risoluzione a terzi

Se si dispone dei mezzi finanziari per raggiungere il proprio scopo, ovvero la risoluzione del problema tramite terzi, il discorso finisce qui e ciò che ne consegue va analizzato in separata sede, sono infatti ben altri gli aspetti che si intende osservare in questo articolo. Il primo aspetto negativo che caratterizza l’affidamento della risoluzione di un problema a terzi, è la spesa di denaro. La diretta implicazione è che parte delle ore di lavoro dell’individuo avente il problema vanno destinate al pagamento del servizio eseguito dal tecnico o professionista incaricato. Si tratta ora di valutare se vi sia o meno reale convenienza in questa scelta. Ovviamente se non si possiedono conoscenze di sorta sul tema, la scelta è quasi obbligata. Se si ha la possibilità di pagare un tecnico o professionista, quest’ultimo provvederà alla risoluzione del problema e l’esito dipenderà dalla sua preparazione, professionalità e onestà. Se non si dispone della liquidità per il pagamento del compenso il problema, ovviamente, permane. Anche nel caso in cui il tecnico o professionista non sia debitamente preparato il problema può permanere comportando un’inutile spesa legata alla scelta errata (spesso inconsapevole) dello specialista stesso (spreco di denaro). La procedura di demando della risoluzione del problema a terzi viene quindi riavviata a patto che si disponga della sufficiente liquidità, in caso contrario il problema permane (questa volta però assieme all’amarezza di uno spreco di denaro che poteva esser utile per altro).

Fattori incidenti

Quanto descritto potrebbe risultare banale (ma non è così…) se non fosse che, tra l’autorisoluzione ed il demando della risoluzione a terzi, esiste una lista di fattori che incidono abbondantemente sulla riuscita o meno dell’una o l’altra scelta e che alcuni di tali fattori spingono decisamente in una direzione marcando un netto cambiamento nella vita di ogni persona. Pertanto se stai pensando di risolvere quel fastidioso problema che rimandi da tempo per via di tutte le altre spese che stai sostenendo e che sembrano avere sempre la priorità, sappi che i fattori che incideranno sulla buona riuscita di un’autorisoluzione sono la misura dello spessore formativo, l’apertura mentale, la capacità di ragionare, la capacità di effettuare valutazioni obiettive, logiche e sensate, la capacità di usare strumenti di apprendimento (scuole, università, corsi, esperienze sul campo, ecc.), la disponibilità e la qualità di questi strumenti (quanto moderna, aggiornata e completa è l’offerta formativa), la capacità di utilizzare strumenti di autoapprendimento (corsi, corsi a distanza, corsi sulla rete, manuali, incontri con esperti del settore, ecc.) e naturalmente la disponibilità, il grado di approfondimento e l’attendibilità di quest’ultimi (dire che oggi si trova di tutto significa affermare che oggi si trovano sia fonti attendibili, corrette e verificabili, sia fonti incomplete, sviluppate male, errate e persino insensate). D’altra parte anche se hai scelto di demandare a terzi la risoluzione di un problema ci sono stati senz’altro dei fattori scatenanti che hanno inciso in precedenza e incidono tuttora su tale scelta. Ad esempio la presenza di altri problemi, la sicurezza di sé, la qualità della vita (stile e ritmo di vita), il rapporto con la società e l’influenza che questa esercita su di te (ad esempio tramite il rapporto con i coetanei o con i colleghi di lavoro), l’umore, il grado di soddisfazione personale, la qualità dell’istruzione ricevuta, l’educazione alle difficoltà, la qualità dell’ambiente, difficoltà varie ed eventuali.

In conclusione

Il problema vero reale è che se abiti sopra un monte, e per muoverti scegli sempre sentieri che vanno in discesa, evitando quindi ogni bivio che ti riporta davanti ad ogni singolo tratto di salita, prima o poi, se vorrai tornare a casa, dovrai risalire l’intero monte e potresti non avere l’allenamento necessario. C’è poi da considerare che se abiti sopra un monte puoi già ritenerti fortunato perchè altri, ai piedi del monte, non avranno altra scelta che iniziare la salita.

Il tempo

Nei percorsi appena esposti non si tiene conto della spesa di tempo che essi comportano in relazione alle diverse scelte e variabili. Ebbene, trattandosi di un tema cruciale, verrà analizzato con le dovute accortezze in uno dei prossimi articoli.

*In questo articolo con il termine problema si intende naturalmente un imprevisto il cui rimedio rientra nelle possibilità di risoluzione di un individuo, sono escluse quindi problematiche di tipo astratto, morale, sociale, religioso, filosofico, medico, ecc..

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